Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x^3+30x^2+300x+1000

Để phân tích đa thức \( x^3 + 30x^2 + 300x + 1000 \) thành nhân tử, ta có thể thực hiện theo các bước sau:

1. Tìm nghiệm của đa thức: Đầu tiên, ta sẽ thử tìm một nghiệm bằng phương pháp thử hoặc sử dụng Định lý Rút gọn Euclid. Ta thử một số giá trị x = -10, x = -5, x = -1, x = 0, ... cho đến khi tìm được nghiệm.

Thử \( x = -10 \):
\( (-10)^3 + 30(-10)^2 + 300(-10) + 1000 = -1000 + 3000 - 3000 + 1000 = 0 \)

Như vậy, \( x = -10 \) là một nghiệm của đa thức.

2. Chia đa thức cho nghiệm đã tìm: Bây giờ, ta sẽ chia đa thức này cho \( x + 10 \) bằng phương pháp chia đa thức.

Chia \( x^3 + 30x^2 + 300x + 1000 \) cho \( x + 10 \), ta có:
- \( x^3 \div x = x^2 \)
- Nhân \( x^2 \) với \( x + 10 \): \( x^2(x + 10) = x^3 + 10x^2 \)
- Trừ: \( (30x^2 - 10x^2) = 20x^2 \)
- Hạ \( 300x \) xuống: \( 20x^2 + 300x \)
- \( 20x^2 \div x = 20x \)
- Nhân \( 20x \) với \( x + 10 \): \( 20x(x + 10) = 20x^2 + 200x \)
- Trừ: \( (300x - 200x) = 100x \)
- Hạ \( 1000 \) xuống: \( 100x + 1000 \)
- \( 100x \div x = 100 \)
- Nhân: \( 100(x + 10) = 100x + 1000 \)
- Trừ: \( 0 \)

Vậy, kết quả của phép chia là \( x^2 + 20x + 100 \).

3. Tìm nhân tử của phần còn lại: Bây giờ ta tiếp tục phân tích \( x^2 + 20x + 100 \). Đa thức này có thể được viết dưới dạng một bình phương hoàn chỉnh:
- Nhận thấy rằng \( x^2 + 20x + 100 = (x + 10)^2 \).

4. Kết luận: Từ kết quả trên, ta có thể viết lại đa thức ban đầu:
\[ x^3 + 30x^2 + 300x + 1000 = (x + 10)(x + 10)^2 = (x + 10)^3. \]

Vậy, đa thức \( x^3 + 30x^2 + 300x + 1000 \) được phân tích thành nhân tử là \( (x + 10)^3 \).