Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x^3+30x^2+300x+1000

Để phân tích đa thức $x^3+30x^2+300x+1000$ thành nhân tử, ta có thể thực hiện theo các bước sau:

1. Tìm nghiệm của đa thức: Đầu tiên, ta sẽ thử tìm một nghiệm bằng phương pháp thử hoặc sử dụng Định lý Rút gọn Euclid. Ta thử một số giá trị x = -10, x = -5, x = -1, x = 0, ... cho đến khi tìm được nghiệm.

Thử $x=-10$:
$(-10{)}^3+30(-10{)}^2+300(-10)+1000=-1000+3000-3000+1000=0$

Như vậy, $x=-10$ là một nghiệm của đa thức.

2. Chia đa thức cho nghiệm đã tìm: Bây giờ, ta sẽ chia đa thức này cho $x+10$ bằng phương pháp chia đa thức.

Chia $x^3+30x^2+300x+1000$ cho $x+10$, ta có:
- $x^3÷x=x^2$
- Nhân $x^2$ với $x+10$: $x^2(x+10)=x^3+10x^2$
- Trừ: $(30x^2-10x^2)=20x^2$
- Hạ $300x$ xuống: $20x^2+300x$
- $20x^2÷x=20x$
- Nhân $20x$ với $x+10$: $20x(x+10)=20x^2+200x$
- Trừ: $(300x-200x)=100x$
- Hạ $1000$ xuống: $100x+1000$
- $100x÷x=100$
- Nhân: $100(x+10)=100x+1000$
- Trừ: $0$

Vậy, kết quả của phép chia là $x^2+20x+100$.

3. Tìm nhân tử của phần còn lại: Bây giờ ta tiếp tục phân tích $x^2+20x+100$. Đa thức này có thể được viết dưới dạng một bình phương hoàn chỉnh:
- Nhận thấy rằng $x^2+20x+100=(x+10{)}^2$.

4. Kết luận: Từ kết quả trên, ta có thể viết lại đa thức ban đầu:
$$x^3+30x^2+300x+1000=(x+10)(x+10{)}^2=(x+10{)}^3.$$

Vậy, đa thức $x^3+30x^2+300x+1000$ được phân tích thành nhân tử là $(x+10{)}^3$.