Nhờ các bạn giải giúp với

Để tính tổng

\[
S = 1 + \frac{1}{2}(1 + 2) + \frac{1}{3}(1 + 2 + 3) + \ldots + \frac{1}{20}(1 + 2 + \ldots + 20),
\]

trước tiên, ta cần biết công thức tính tổng của dãy số từ 1 đến n:

\[
1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n + 1)}{2}.
\]

Áp dụng công thức này vào các biểu thức trong tổng S, ta có:

- Khi n = 1: \(1\)
- Khi n = 2: \(\frac{1}{2}(1 + 2) = \frac{1}{2}\cdot \frac{2(2 + 1)}{2} = \frac{3}{2}\)
- Khi n = 3: \(\frac{1}{3}(1 + 2 + 3) = \frac{1}{3}\cdot \frac{3(3 + 1)}{2} = 2\)
- Khi n = 4: \(\frac{1}{4}(1 + 2 + 3 + 4) = \frac{1}{4}\cdot \frac{4(4 + 1)}{2} = 5\)
- ...

Tiếp tục như vậy cho đến n = 20.

Cụ thể cho n = k, tổng sẽ là:

\[
\frac{1}{k}\cdot \frac{k(k + 1)}{2} = \frac{k + 1}{2}.
\]

Thay giá trị này vào tổng S:

\[
S = 1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{2} + \frac{4}{2} + \ldots + \frac{21}{2}.
\]

Thay đổi một chút, ta có thể viết lại tổng S như sau:

\[
S = \frac{1}{2} (1 + 2 + 3 + 4 + \ldots + 21).
\]

Bây giờ, tính tổng từ 1 đến 21:

\[
1 + 2 + \ldots + 21 = \frac{21(21 + 1)}{2} = \frac{21 \cdot 22}{2} = 231.
\]

Vậy tổng S sẽ là:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot 231 = 115.5.
\]

Do đó, kết quả của bài toán là:

\[
S = 115.5.
\]