Giải giúp mình bài nguyên hàm này với ạ

Để giải bài toán này, ta cần tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) \) đã cho trong các mệnh đề.

### b) Tính nguyên hàm \( \int \frac{f(x)}{2\sqrt{x}} \, dx \)

Dựa vào điều kiện đã cho \( f(0) = 1 \) và \( f(x) = f'(x) \cdot \sqrt{x} \), ta nhận thấy rằng \( f(x) \) là một hàm số xác định trong khoảng \((0, +\infty)\) và có thể coi là hàm khả vi.

Từ điều kiện \( f'(x) = \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \), ta có thể tách biến:

\( \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{\sqrt{x}} \)

Tiến hành tích phân hai vế theo \( x \):

\( \int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx \)

Kết quả của vế trái là \( \ln |f(x)| \), và kết quả của vế phải là \( 2\sqrt{x} + C \).

Sau đó, loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối (do \( f(x) \) đã được định nghĩa):

\( \ln f(x) = 2\sqrt{x} + C \)

Lấy hàm số mũ hai vế:

\( f(x) = e^{2\sqrt{x}+C} = e^C \cdot e^{2\sqrt{x}} \)

Gọi \( k = e^C \), ta có \( f(x) = k e^{2\sqrt{x}} \).

### Trở lại nguyên hàm

Tiến hành tính nguyên hàm:

\( \int \frac{f(x)}{2\sqrt{x}} \, dx = \int \frac{k e^{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} \, dx \)

Thay \( u = \sqrt{x} \) (với \( x = u^2 \), \( dx = 2u \, du \)), ta có:

\( \int \frac{k e^{2u}}{2u} \cdot 2u \, du = \int k e^{2u} \, du \)

Kết quả này là:

\( \frac{k}{2} e^{2u} + C = \frac{k}{2} e^{2\sqrt{x}} + C \)

Do đó, ta có nguyên hàm:

\( \int \frac{f(x)}{2\sqrt{x}} \, dx = \frac{f(x)}{2} + C \).

### a) Tính nguyên hàm \( \int f(2x) \, dx \)

Ta có thể sử dụng phép biến đổi.

Thay \( u = 2x \) thì \( du = 2 \, dx \Rightarrow dx = \frac{1}{2} du \).

Thay vào nguyên hàm, ta được:

\( \int f(2x) \, dx = \int f(u) \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int f(u) \, du \).

Kết quả là:

\( \frac{1}{2} F(u) + C \) với \( F(u) \) là nguyên hàm của \( f(u) \).

### Kết luận

Tóm lại, ta có thể kết luận nguyên hàm ở mỗi mục như sau:

- b) \( \int \frac{f(x)}{2\sqrt{x}} \, dx = \frac{f(x)}{2} + C \)
- a) \( \int f(2x) \, dx = \frac{1}{2} F(u) + C \) với \( F \) là nguyên hàm của \( f(u) \).