Bài 8:Tình số tự nhiên n

Để giải bài toán này, ta sẽ so sánh các biểu thức để tìm số tự nhiên \( n \) sao cho:

\[ 4^{15} \cdot 9^{15} < 2^{n} \cdot 3^{n} < 18^{16} \cdot 2^{16}. \]

### Bước 1: Đơn giản hóa các biểu thức

1. Biểu thức bên trái:
\[
4^{15} = (2^2)^{15} = 2^{30}
\]
\[
9^{15} = (3^2)^{15} = 3^{30}
\]
Vậy,
\[
4^{15} \cdot 9^{15} = 2^{30} \cdot 3^{30}.
\]

2. Biểu thức bên phải:
\[
18^{16} = (2 \cdot 3)^{16} = 2^{16} \cdot 3^{16}
\]
Vậy,
\[
18^{16} \cdot 2^{16} = 2^{16} \cdot 3^{16} \cdot 2^{16} = 2^{32} \cdot 3^{16}.
\]

### Bước 2: Đặt lại bất đẳng thức

Bây giờ, ta có bất đẳng thức:

\[
2^{30} \cdot 3^{30} < 2^{n} \cdot 3^{n} < 2^{32} \cdot 3^{16}.
\]

### Bước 3: So sánh từng phần

1. Phần bên trái:
Chia cả hai vế cho \( 2^{30} \cdot 3^{30} \):

\[
1 < 2^{n - 30} \cdot 3^{n - 30}.
\]
Để bất đẳng thức này đúng, ta cần \( n - 30 \) phải dương tức là:

\[
n - 30 > 0 \Rightarrow n > 30.
\]

2. Phần bên phải:
Chia cả hai vế cho \( 2^{30} \cdot 3^{30} \):

\[
2^{n - 30} \cdot 3^{n - 30} < 2^{2} \cdot 3^{16 - 30} = 4 \cdot 3^{-14}.
\]
Để điều này đúng, cần cân nhắc hai trường hợp đối với \( n - 30 \):

- Nếu \( n - 30 \) dương thì \( 2^{n - 30} \) dương, nhưng \( 3^{n - 30} \) lại phụ thuộc vào n. Ta cần coi xét n sao cho \( 2^{n - 30} < 4 \) và \( 3^{n - 30} < 3^{14} \):
\[
n - 30 < 2 \Rightarrow n < 32.
\]

Cuối cùng, chúng ta có hai bất đẳng thức:

- \( n > 30 \)
- \( n < 32 \)

### Kết luận

Vậy, số tự nhiên \( n \) thoả mãn bất đẳng thức là:

\[
n = 31.
\]