$dfrac{sqrt{15} - sqrt{30}}{sqrt{15}}$ `+` $dfrac{9}{sqrt{2}}$ `+` $dfrac{4}{sqrt{2} - 2}$

Để giải bài toán này, ta sẽ xử lý từng thành phần trong biểu thức.

Ta có biểu thức:

$$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{30}}{\sqrt{15}}+\frac{9}{\sqrt{2}}+\frac{4}{\sqrt{2}-2}$$

Bước 1: Đơn giản hóa phần đầu tiên.

Xét phần đầu tiên:

$$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{30}}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}-\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{15}}=1-\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{15}}$$

Ta biết rằng:

$$\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{15}}=\sqrt{\frac{30}{15}}=\sqrt{2}$$

Vậy nên phần đầu tiên trở thành:

$$1-\sqrt{2}$$

Bước 2: Để ý phần thứ hai.

Phần thứ hai:

$$\frac{9}{\sqrt{2}}$$

Bước 3: Đơn giản hóa phần thứ ba.

Giờ ta làm việc với phần thứ ba:

$$\frac{4}{\sqrt{2}-2}$$

Để làm đơn giản hóa thuận tiện hơn, ta nhân tử số và mẫu số với liên hợp của mẫu số:

$$\frac{4}{\sqrt{2}-2}\cdot \frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}+2}=\frac{4(\sqrt{2}+2)}{(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)}$$

Trong mẫu số:

$$(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}+2)=2-4=-2$$

Vì vậy ta có:

$$\frac{4(\sqrt{2}+2)}{-2}=-2(\sqrt{2}+2)=-2\sqrt{2}-4$$

Bước 4: Kết hợp tất cả lại.

Bây giờ ta kết hợp tất cả các phần lại:

$$1-\sqrt{2}+\frac{9}{\sqrt{2}}-2\sqrt{2}-4$$

Ta có thể nhóm lại như sau:

$$1-4-\sqrt{2}-2\sqrt{2}+\frac{9}{\sqrt{2}}=-3-3\sqrt{2}+\frac{9}{\sqrt{2}}$$

Bước 5: Đưa về mẫu số chung cho phần $\frac{9}{\sqrt{2}}$.

Để đưa toàn bộ về đúng mẫu số chung là $\sqrt{2}$, ta cần biến đổi:

- Đầu tiên, viết lại $-3\sqrt{2}$ như $\frac{-3\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{-6}{\sqrt{2}}$.

Vậy ta có:

$$-3-3\sqrt{2}=-3-\frac{6}{\sqrt{2}}$$

Bây giờ ta thay thế:

$$-3-3\sqrt{2}+\frac{9}{\sqrt{2}}=-3+\frac{9-6}{\sqrt{2}}=-3+\frac{3}{\sqrt{2}}$$

Và ta có toàn bộ biểu thức cuối cùng là:

$$-3+\frac{3}{\sqrt{2}}$$

Để có kết quả dạng không có mẫu số ở dưới, ta có thể viết lại $\frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Kết luận: Kết quả cuối cùng là

$$-3+\frac{3\sqrt{2}}{2}$$