Cho A = (2; dương vô cực) và B = [ m² - 7; dương vô cực) với m>0. Tìm tất cả các số thực m để AB là một khoảng có độ dài bằng 16.

Để giải bài toán này, ta cần tìm tất cả các số thực m sao cho hiệu A\B là một khoảng có độ dài bằng 16.

Đầu tiên, ta có:

- A = (2; dương vô cực) có nghĩa là chứa tất cả các số thực lớn hơn 2.
- B = [m² - 7; dương vô cực) có nghĩa là chứa tất cả các số thực bắt đầu từ m² - 7 đến dương vô cực.

Khi tìm hiệu A\B, é tức là tìm tập hợp các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B. Hay nói cách khác, để A\B không rỗng thì điều kiện cần là 2 < m² - 7. Từ đó ta có:

2 < m² - 7
=> m² > 9
=> m > 3 hoặc m < -3

Tuy nhiên vì m > 0, nên ta chỉ xem xét trường hợp m > 3.

Tiếp theo, để xác định độ dài của khoảng A\B, ta cần xác định phần chốt của A và B.

Tập A bắt đầu từ 2 đến vô cực (2, +∞), và tập B bắt đầu từ m² - 7 đến vô cực [m² - 7, +∞). Do đó, A\B sẽ bắt đầu từ 2 đến m² - 7 và cắt bởi điểm 2 nếu m² - 7 > 2.

Để A\B có độ dài bằng 16, ta cần:

(m² - 7) - 2 = 16
=> m² - 9 = 16
=> m² = 25
=> m = 5 (vì m > 0)

Ta kiểm tra lại điều kiện:

Khi m = 5:
- B = [5² - 7; +∞) = [25 - 7; +∞) = [18; +∞)
- Vậy A\B = (2; 18), đây là một khoảng có độ dài = 18 - 2 = 16.

Vậy giá trị duy nhất của m thoả mãn điều kiện bài toán là m = 5.