cho đường thẳng d và 4 điểm M, N, P, Q không nằm trên đường thẳng d. CMR(chứng minh rằng) đường thẳng d ko cắt đoạn nào hoặc cắt 3 đoạn hoặc cắt 4 đoạn trong 6 đoạn MN, MP, MQ, NP, NQ, PQ.

Để chứng minh rằng đường thẳng d không cắt đoạn nào hoặc cắt 3 đoạn hoặc cắt 4 đoạn trong 6 đoạn MN, MP, MQ, NP, NQ, PQ, trước tiên ta cần hiểu rằng đoạn thẳng được xác định bởi 2 điểm và cắt nhau nếu phép chiếu của hai đoạn thẳng này trên đường thẳng d có giao điểm.

Giả sử rằng đường thẳng d không cắt đoạn nào trong các đoạn trên thì chắc chắn kết luận được đưa ra. Nay ta xem trường hợp đường thẳng d cắt ít nhất 1 đoạn.

1. Tình huống đường thẳng d cắt 1 đoạn:
- Giả sử d cắt đoạn MN. Theo định nghĩa, điều này có nghĩa là d cắt ít nhất một trong các điểm M hoặc N. Tuy nhiên, vì các điểm M và N đều nằm trên một bên so với đường thẳng d, nên d không thể cắt đoạn nào khác. Điều này dẫn đến sự mâu thuẫn, vì vậy d không thể cắt 1 đoạn.

2. Tình huống đường thẳng d cắt 2 đoạn:
- Tương tự như trường hợp trước, giả sử d cắt 2 đoạn, ví dụ MN và PQ. Để điều này xảy ra thì d cũng phải cắt ít nhất một trong các điểm M, N, P hoặc Q. Ta xét 2 trường hợp:
- Nếu d cắt đoạn MN, thì M và N nằm trên một bên đồng thời P và Q nằm bên kia, có thể không cắt nhau.
- Tuy nhiên, điều này cũng không thể xảy ra vì ta cần suy ra từ các điểm trên d rằng nếu d cắt 2 đoạn thì 4 điểm này phải sắp xếp theo một cách khác.

3. Tình huống d cắt 3 đoạn:
- Giả sử d cắt ba đoạn. Nếu d cắt được 3 đoạn như là MN, MP và MQ. Thì với d cắt 3 đoạn này, sẽ buộc phải có một trong các đoạn còn lại không bị cắt (NQ, NP, PQ). Dẫn đến trường hợp cũng sẽ không còn đủ vị trí cho những đoạn còn lại được cắt. Do đó, không thể xảy ra trường hợp cắt 3 đoạn.

4. Tình huống d cắt 4 đoạn:
- Cuối cùng, giả sử rằng d cắt cả 4 đoạn. Với các đoạn cắt nhau theo cách này cũng dẫn đến việc d không thể cắt cả 6 đoạn mà chỉ cắt 4, thậm chí nếu ban đầu cắt 4 thì những đoạn còn lại không cắt.

Tổng kết lại, qua các trường hợp trên, ta có thể kết luận rằng:
- Đường thẳng d không thể cắt một đoạn nào hoặc chỉ cắt 3 hoặc 4 đoạn mà không vi phạm nguyên tắc sắp xếp của các đoạn thẳng được cho. Do đó, kết luận là d không cắt đoạn nào hoặc cắt 3 đoạn hoặc cắt 4 đoạn trong 6 đoạn MN, MP, MQ, NP, NQ, PQ.