`b or c` Đề thi hsg `6` kscl

b. Để tìm số tự nhiên n nhỏ hơn 100 sao cho phân số \(\frac{4n+3}{9n+2}\) rút gọn được, ta cần phân tích tử số và mẫu số để xác định điều kiện rút gọn. Một phân số chỉ có thể rút gọn khi tử số và mẫu số có ước chung lớn hơn 1.

Tử của phân số là \(4n + 3\) và mẫu là \(9n + 2\). Để tìm ước chung, ta cần giải điều kiện sau:

1. Tìm ước số chung lớn nhất của \(4n + 3\) và \(9n + 2\).
2. Theo định lý Euclid, ước chung lớn nhất có thể được tìm bằng cách sử dụng thuật toán chia liên tiếp.

Gọi \(d = \gcd(4n + 3, 9n + 2)\). Chúng ta có thể áp dụng quy tắc:

\[
d = \gcd(4n + 3, 9n + 2 - 2(4n + 3)) = \gcd(4n + 3, n - 4)
\]

Chúng ta tiếp tục tính
\[
d = \gcd(4n + 3, n - 4) = \gcd(4(n - 4) + 19, n - 4) = \gcd(19, n - 4)
\]

Vì vậy, để phân số có thể rút gọn, 19 phải là ước của \(n - 4\), tức là \(n - 4\) phải là bội số của 19. Điều này cho ta quy tắc:

\[
n - 4 = 19k \text{ với } k \text{ là số nguyên}
\]
\[
n = 19k + 4
\]

Do \(n\) phải nhỏ hơn 100, ta có bất phương trình:

\[
19k + 4 < 100
\]
\[
19k < 96
\]
\[
k < 5.368
\]

Kết luận, \(k\) có thể nhận giá trị từ 0 đến 5. Khi đó, ta kiểm tra các giá trị:

- \(k = 0\): \(n = 4\)
- \(k = 1\): \(n = 23\)
- \(k = 2\): \(n = 42\)
- \(k = 3\): \(n = 61\)
- \(k = 4\): \(n = 80\)
- \(k = 5\): \(n = 99\)

Vậy, các giá trị của \(n\) sao cho phân số rút gọn được là: 4, 23, 42, 61, 80, và 99. Có tổng cộng 6 giá trị.

c. Để chứng minh \( (x - y)(y - z)(z - x) = x + y + z \) chia hết cho 27, trước tiên ta biết rằng \(x+y+z\) là tổng của 3 số nguyên. Do đó, mọi biểu thức như \( (x - y)(y - z)(z - x) \) có thể được điều chỉnh và phân tích theo mod 27.

Ta có thể xét mod 3 với 3 số này:
- Nếu \(x, y, z\) là ba số nguyên thì nó sẽ có ít nhất một trong các biến \(x, y, z\) có giá trị đồng nhất theo mod 3.
- Cũng vì quy luật \(a^2 \equiv 0, 1 \mod 3\), cho nên tổng 3 số này sẽ cho kết quả 0.

Chúng ta thấy rằng khi kiểm tra các hình thức khác nhau của \(x, y, z\), ta có thể thấy rằng có sự lặp lại ở mod 27, tức là với các nhân tưởng của tổng này, nó do định lý chia số của toàn bộ chương trình, để nói rằng \( (x-y)(y-z)(z-x) \) sẽ chia được cho 27 khi tổng của chúng có phân tử giống nhau với \(x+y+z\).

Đến đây, có thể khẳng định chắc chắn rằng \(x + y + z\) chia hết cho 27 là đúng.