Cho 2X>Y>0 và 4X^2-y^2=8xy tính M=2x+y/2x-y

Để giải bài toán này, chúng ta bắt đầu từ hệ bất phương trình và phương trình đã cho:

1. 2X > Y > 0
2. 4X^2 - Y^2 = 8XY

Ta có thể biến đổi phương trình 4X^2 - Y^2 = 8XY thành dạng khác. Ta nhận thấy rằng phương trình này có thể viết lại như sau:

4X^2 - 8XY - Y^2 = 0.

Đây là một phương trình bậc hai theo Y. Để giải phương trình này, ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

Y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a,

với a = -1, b = -8X, c = 4X^2. Áp dụng vào công thức này, ta có:

b^2 - 4ac = (-8X)^2 - 4(-1)(4X^2) = 64X^2 + 16X^2 = 80X^2.

Tiếp theo, ta tính nghiệm Y:

Y = (8X ± √(80X^2)) / 2 = (8X ± 4√5X) / 2 = 4X ± 2√5X = 2X(2 ± √5).

Từ điều kiện 2X > Y > 0, ta sẽ kiểm tra các giá trị có thể nhận được từ nghiệm Y:

1. Nếu Y = 2X(2 - √5), ta cần kiểm tra điều kiện:

2X > 2X(2 - √5),
2 > 2 - √5,
√5 > 0 (điều này luôn đúng).

2. Nếu Y = 2X(2 + √5), ta cũng cần kiểm tra điều kiện:

2X > 2X(2 + √5),
2 > 2 + √5 (điều này không đúng vì √5 dương).

Vì vậy, nghiệm duy nhất thỏa mãn là Y = 2X(2 - √5).

Bây giờ, ta sẽ tính giá trị M = (2X + Y) / (2X - Y):

Thay Y vào công thức:

M = (2X + 2X(2 - √5)) / (2X - 2X(2 - √5)),
= (2X(1 + 2 - √5)) / (2X(1 - (2 - √5))),
= (2X(3 - √5)) / (2X(√5 - 1)).

Lưu ý rằng X khác 0 (do Y > 0). Ta có thể rút gọn 2X:

M = (3 - √5) / (√5 - 1).

Đến đây, M đã được xác định. Ta có thể đưa M về dạng khác nữa tùy theo yêu cầu cụ thể. Tuy nhiên, phần quan trọng là đã xác định được giá trị M theo thông số X.