Xét tính đúng sai ạ (phương trình lượng giác)

a) Để tìm tập giá trị của m sao cho phương trình 2cos(x + π/3) - m + 1 = 0 có nghiệm trong khoảng [-1; 1], ta cần biểu diễn phương trình này.

Phương trình có thể viết lại là:

2cos(x + π/3) = m - 1

Hay:

cos(x + π/3) = (m - 1)/2.

Biết rằng giá trị của hàm cos luôn nằm trong khoảng [-1; 1], ta có:

-1 ≤ (m - 1)/2 ≤ 1.

Nhân tất cả các thành phần của bất đẳng thức này với 2, ta có:

-2 ≤ m - 1 ≤ 2.

Cộng 1 vào tất cả các thành phần, ta có:

-1 ≤ m ≤ 3.

Từ đây, tập giá trị của m để phương trình có nghiệm là [-1; 3].

b) Để kiểm tra xem π/6 có phải là nghiệm của phương trình khi m = 1 hay không, ta thay m = 1 vào phương trình:

2cos(x + π/3) - 1 + 1 = 0.

Tức là:

2cos(x + π/3) = 0.

Điều này dẫn đến:

cos(x + π/3) = 0.

Giá trị của hàm cos bằng 0 tại các điểm (2k + 1)π/2, với k ∈ Z.

Thay x = π/6 vào phương trình, ta có:

cos(π/6 + π/3) = cos(π/2) = 0.

Vậy thì π/6 là nghiệm của phương trình khi m = 1.

c) Khi m = 1, phương trình trở thành:

2cos(x + π/3) = 0

hay cos(x + π/3) = 0.

Hàm cos = 0 tại x + π/3 = (2k + 1)π/2. Giải phương trình này sẽ cho:

x = (2k + 1)π/2 - π/3.

Để có 6 nghiệm phân biệt trong đoạn [0; 6π], ta cần xác định giá trị của k sao cho x nằm trong đoạn này.

Đặt:

(2k + 1)π/2 - π/3 ≥ 0

và

(2k + 1)π/2 - π/3 ≤ 6π.

Giải hai bất đẳng thức này sẽ cho kết quả rằng có đúng 6 giá trị k tương ứng, từ đó có 6 nghiệm phân biệt trong đoạn [0; 6π].

d) Khi m = 0, phương trình trở thành:

2cos(x + π/3) + 1 = 0

hay cos(x + π/3) = -1.

Hàm cos bằng -1 tại x + π/3 = (2k + 1)π với k ∈ Z. Giải phương trình này cho x ta được:

x = (2k + 1)π - π/3.

Phương trình này có nghiệm là:

x = (2k + 1)π - π/3 = (2k + 1)π - 3/3 = (2k + 1)π - π/3.

Với k ∈ Z, thì tập nghiệm của phương trình sẽ là:

{x | x = (2k + 1)π - π/3 ; -π/3 + k2π ; -π, -π + k2π ; k ∈ Z}.

Do đó, câu này đã được chứng minh.