Gỉai hệ phương trình $left { {{z_1z_2=-5-5i} atop {z_1^2 + z_2^2=-5+2i}} ight.$ Tìm $z_1+z_2$

Giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
z_1 z_2 = -5 - 5i \\
z_1^2 + z_2^2 = -5 + 2i
\end{cases}
\]

Đặt \( z_1 + z_2 = s \) và \( z_1 z_2 = p \). Từ đó, chúng ta có thể sử dụng các nghiệm của phương trình bậc hai để diễn đạt \( z_1^2 + z_2^2 \).

Ta có công thức:

\[
z_1^2 + z_2^2 = (z_1 + z_2)^2 - 2z_1 z_2
\]

Thay \( s \) và \( p \) vào công thức, ta có:

\[
z_1^2 + z_2^2 = s^2 - 2p
\]

Bây giờ thay các giá trị của \( p \) và \( z_1^2 + z_2^2 \):

\[
s^2 - 2(-5 - 5i) = -5 + 2i
\]

Giải phương trình này:

\[
s^2 + 10 + 10i = -5 + 2i
\]

Giản lược:

\[
s^2 + 10 + 10i + 5 - 2i = 0
\]

Hay là:

\[
s^2 + 15 + 8i = 0
\]

Điều này có nghĩa là:

\[
s^2 = -15 - 8i
\]

Để tìm \( s \), ta tính căn bậc hai của một số phức. Đặt \( s = a + bi \), ta có:

\[
(a + bi)^2 = -15 - 8i
\]

Giải phương trình:

\[
a^2 - b^2 + 2abi = -15 - 8i
\]

Từ đó, ta có hệ phương trình:

1. \( a^2 - b^2 = -15 \)
2. \( 2ab = -8 \)

Từ phương trình thứ hai, ta có:

\[
ab = -4 \implies b = -\frac{4}{a} \quad (a \neq 0)
\]

Thay vào phương trình thứ nhất:

\[
a^2 - \left(-\frac{4}{a}\right)^2 = -15
\]

Giải phương trình này:

\[
a^2 - \frac{16}{a^2} = -15
\]

Nhân tất cả các thành phần với \( a^2 \) để loại mẫu:

\[
a^4 + 15a^2 - 16 = 0
\]

Đặt \( x = a^2 \), ta có phương trình bậc hai:

\[
x^2 + 15x - 16 = 0
\]

Áp dụng công thức căn bậc hai:

\[
x = \frac{-15 \pm \sqrt{15^2 + 4 \cdot 16}}{2} = \frac{-15 \pm \sqrt{225 + 64}}{2} = \frac{-15 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{-15 \pm 17}{2}
\]

Tính nghiệm:

1. \( x_1 = \frac{2}{2} = 1 \) (thực hiện tích cực)
2. \( x_2 = \frac{-32}{2} = -16 \) (không hợp lệ vì không thể là bình phương)

Vậy \( a^2 = 1 \), từ đó \( a = 1 \) hoặc \( a = -1 \).

Tính \( b \) từ \( ab = -4 \):

1. Nếu \( a = 1 \) thì \( b = -4 \)
2. Nếu \( a = -1 \) thì \( b = 4 \)

Do đó, chúng ta có:

- Trường hợp 1: \( s = 1 - 4i \)
- Trường hợp 2: \( s = -1 + 4i \)

Cuối cùng, \( z_1 + z_2 = s \) có thể là \( 1 - 4i \) hoặc \( -1 + 4i \).

Kết quả cuối cùng là:

\[
z_1 + z_2 = 1 - 4i \text{ hoặc } -1 + 4i
\]