Gỉai hệ phương trình $left { {{z_1z_2=-5-5i} atop {z_1^2 + z_2^2=-5+2i}} ight.$ Tìm $z_1+z_2$

Giải hệ phương trình:

$$\{\begin{array}{l}{z}_1{z}_2=-5-5i\\ z_1^2+z_2^2=-5+2i\end{array}$$

Đặt $z_1+z_2=s$ và $z_1{z}_2=p$. Từ đó, chúng ta có thể sử dụng các nghiệm của phương trình bậc hai để diễn đạt $z_1^2+z_2^2$.

Ta có công thức:

$$z_1^2+z_2^2=(z_1+z_2{)}^2-2z_1{z}_2$$

Thay $s$ và $p$ vào công thức, ta có:

$$z_1^2+z_2^2=s^2-2p$$

Bây giờ thay các giá trị của $p$ và $z_1^2+z_2^2$:

$$s^2-2(-5-5i)=-5+2i$$

Giải phương trình này:

$$s^2+10+10i=-5+2i$$

Giản lược:

$$s^2+10+10i+5-2i=0$$

Hay là:

$$s^2+15+8i=0$$

Điều này có nghĩa là:

$$s^2=-15-8i$$

Để tìm $s$, ta tính căn bậc hai của một số phức. Đặt $s=a+bi$, ta có:

$$(a+bi{)}^2=-15-8i$$

Giải phương trình:

$$a^2-b^2+2abi=-15-8i$$

Từ đó, ta có hệ phương trình:

1. $a^2-b^2=-15$
2. $2ab=-8$

Từ phương trình thứ hai, ta có:

$$ab=-4⟹b=-\frac{4}{a}(a\ne 0)$$

Thay vào phương trình thứ nhất:

$$a^2-{(-\frac{4}{a})}^2=-15$$

Giải phương trình này:

$$a^2-\frac{16}{a^2}=-15$$

Nhân tất cả các thành phần với $a^2$ để loại mẫu:

$$a^4+15a^2-16=0$$

Đặt $x=a^2$, ta có phương trình bậc hai:

$$x^2+15x-16=0$$

Áp dụng công thức căn bậc hai:

$$x=\frac{-15\pm \sqrt{{15}^2+4\cdot 16}}{2}=\frac{-15\pm \sqrt{225+64}}{2}=\frac{-15\pm \sqrt{289}}{2}=\frac{-15\pm 17}{2}$$

Tính nghiệm:

1. $x_1=\frac{2}{2}=1$ (thực hiện tích cực)
2. $x_2=\frac{-32}{2}=-16$ (không hợp lệ vì không thể là bình phương)

Vậy $a^2=1$, từ đó $a=1$ hoặc $a=-1$.

Tính $b$ từ $ab=-4$:

1. Nếu $a=1$ thì $b=-4$
2. Nếu $a=-1$ thì $b=4$

Do đó, chúng ta có:

- Trường hợp 1: $s=1-4i$
- Trường hợp 2: $s=-1+4i$

Cuối cùng, $z_1+z_2=s$ có thể là $1-4i$ hoặc $-1+4i$.

Kết quả cuối cùng là:

$$z_1+z_2=1-4i\text{ hoặc }-1+4i$$