Cho `A = 1/2^2 + 1/2^4 + 1/2^6 +......+ 1/2^100`. C/m rằng `A < 1/3`

Để chứng minh rằng A < 1/3, trước tiên ta cần xác định A là tổng của một chuỗi hình học:

A = 1/2^2 + 1/2^4 + 1/2^6 + ... + 1/2^100.

Chuỗi này có thể viết lại như sau:

A = (1/2^2) + (1/2^4) + (1/2^6) + ... + (1/2^100).

Ta có thể nhận thấy rằng chuỗi này có dạng tổng của chuỗi hình học với bậc khởi đầu a = 1/2^2 và tỷ số q = 1/2^2 (hay q = 1/4).

Số hạng đầu tiên là 1/2^2 và số hạng cuối cùng là 1/2^100. Tổng số số hạng trong chuỗi này là:

Số hạng đầu tiên = 1, số hạng cuối cùng = 100/2 - 1 = 49.

Vậy tổng số hạng là 49 + 1 = 50 số hạng.

Công thức tổng của chuỗi hình học được cho bởi:

S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q),

trong đó n là số hạng, a là số hạng đầu tiên và q là tỷ số chung.

Áp dụng vào chuỗi của chúng ta:

a = 1/4,
q = 1/4,
n = 50.

Thế vào công thức trên:

A = (1/4) * (1 - (1/4)^(50)) / (1 - 1/4)

= (1/4) * (1 - (1/4)^(50)) / (3/4)

= (1/4) (4/3) (1 - (1/4)^(50))

= (1/3) * (1 - (1/4)^50).

Do (1/4)^50 là một số rất nhỏ, gần như bằng 0, vì vậy

1 - (1/4)^(50) < 1.

Kết luận:

A < (1/3) * (1 - 0) = 1/3.

Do đó, ta có thể khẳng định rằng A < 1/3.