tìm `m,n` biết `(x+2)/(x^2-3x+2)=m/(x-1)+n/(x-2`

Để giải bài toán này, ta bắt đầu bằng cách phân tích và tìm các giá trị của `m` và `n` sao cho:

\[
\frac{x + 2}{x^2 - 3x + 2} = \frac{m}{x - 1} + \frac{n}{x - 2}
\]

Đầu tiên, chúng ta phân tích biểu thức bên trái:

Biểu thức mẫu số \(x^2 - 3x + 2\) có thể được phân tích như sau:

\[
x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
\]

Do đó, ta có:

\[
\frac{x + 2}{(x - 1)(x - 2)}
\]

Tiếp theo, ta cần tìm \(m\) và \(n\) trong phương trình:

\[
\frac{x + 2}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{m}{x - 1} + \frac{n}{x - 2}
\]

Để cộng hai phân số bên phải về cùng biến số mẫu, chúng ta sẽ sử dụng chung mẫu số là \((x - 1)(x - 2)\). Vì vậy, ta có:

\[
\frac{m}{x - 1} = \frac{m(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)} \quad \text{và} \quad \frac{n}{x - 2} = \frac{n(x - 1)}{(x - 1)(x - 2)}
\]

Ghép lại, chúng ta có:

\[
\frac{m(x - 2) + n(x - 1)}{(x - 1)(x - 2)}
\]

Bây giờ, phương trình trở thành:

\[
\frac{x + 2}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{m(x - 2) + n(x - 1)}{(x - 1)(x - 2)}
\]

Khi mẫu số giống nhau, ta chỉ cần so sánh tử số:

\[
x + 2 = m(x - 2) + n(x - 1)
\]

Mở rộng bên phải:

\[
x + 2 = mx - 2m + nx - n
\]

Kết hợp các hạng tử, ta có:

\[
x + 2 = (m + n)x - (2m + n)
\]

Bây giờ, ta so sánh hệ số của \(x\) và hằng số ở cả hai vế:

1. Hệ số của \(x\): \(1 = m + n\)
2. Hằng số: \(2 = -2m - n\)

Ta có được hai phương trình:

1. \(m + n = 1\)
2. \(-2m - n = 2\)

Bây giờ, chúng ta có thể giải hệ phương trình này. Từ phương trình đầu tiên, ta có \(n = 1 - m\). Thay vào phương trình thứ hai:

\[
-2m - (1 - m) = 2
\]

Giải phương trình này:

\[
-2m - 1 + m = 2
\]

\[
-m - 1 = 2
\]

\[
-m = 3 \implies m = -3
\]

Bây giờ, thay giá trị của \(m\) vào phương trình \(m + n = 1\):

\[
-3 + n = 1
\]

\[
n = 4
\]

Vậy giá trị \(m\) và \(n\) đã được tìm thấy:

\[
m = -3, n = 4
\]

Do đó, kết quả cuối cùng là:

m = -3
n = 4