cho các stn x,y tm (3x+4y)(2x+5y) chia hết cho 7.cmr (3x+4y)(2x+5y) chia hết cho 49

Để chứng minh rằng (3x + 4y)(2x + 5y) chia hết cho 49 khi nó chia hết cho 7, ta sẽ sử dụng định lý số học và các tính chất của các số nguyên.

Đầu tiên, ta giả sử rằng (3x + 4y)(2x + 5y) chia hết cho 7. Điều này có nghĩa là:

(3x + 4y)(2x + 5y) ≡ 0 (mod 7)

Ta sẽ xét các trường hợp modulo 7. Với bất kỳ số nguyên m nào, ta diện tắt các số nguyên modulo 7 như sau: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Ta sẽ kiểm tra tất cả các khả năng cho x và y với tất cả các giá trị 0 đến 6 modulo 7.

Nếu (3x + 4y) ≡ 0 (mod 7) và (2x + 5y) ≡ 0 (mod 7), thì rõ ràng rằng tích của chúng sẽ nhỏ hơn một bội số của 49. Tuy nhiên, nếu một trong hai cái không bằng 0 modulo 7, nhưng tích vẫn bằng 0 modulo 7 thì có khả năng một trong hai trường hợp sau xảy ra:

1. (3x + 4y) ≡ a (mod 7), a ≠ 0.
2. (2x + 5y) ≡ b (mod 7), b ≠ 0.

Khi một trong hai cái không bằng 0 nhưng vẫn cho kết quả là 0 khi nhân lại với nhau, thì điều này cho thấy rằng ít nhất một trong các yếu tố đang chịu tác động của 7 (tức là nó sẽ có một tích chẵn tương ứng với 7).

Điều quan trọng ở đây là ta có thể viết lại các bội số của 7 như sau:

a mod 7 = 7k (k ∈ Z)

Và ta có thể có:

(3x + 4y)(2x + 5y) = (7k * m), trong đó m là số nguyên khác mà tích này chắc chắn sẽ rơi vào bội số của 49 nếu một trong hai đầu vào cũng là bội số của 7.

Do đó, nếu (3x + 4y)(2x + 5y) chia hết cho 7, thì nó phải chia hết cho 49, dựa trên fact rằng một trong hai (hoặc cả hai) phần tử sẽ là bội số của 7 hơn một lần.

Tóm lại, nếu (3x + 4y)(2x + 5y) chia hết cho 7 thì nó cũng chia hết cho 49, vì vậy điều đã được chứng minh.