sos                                                  GẤP

Để giải bài toán này, ta cần tìm các số nguyên tố x và y mà thỏa mãn phương trình:

x^2 + 23 = y^3.

Bắt đầu bằng cách biến đổi lại phương trình này để tìm y theo x:

y^3 = x^2 + 23
=> y = (x^2 + 23)^(1/3).

Phương trình trên cho thấy y là một số nguyên. Để y là một số nguyên, x^2 + 23 phải là một số chính phương, tức là tồn tại một số nguyên k sao cho:

x^2 + 23 = k^3.

Rồi được viết lại:

x^2 = k^3 - 23.

Từ đây, ta cần k^3 - 23 cũng phải là một số chính phương (để x là số nguyên). Thử một số giá trị nguyên dương cho k:

1. Nếu k = 3:
k^3 = 27,
x^2 = 27 - 23 = 4,
x = ±2 (chỉ xét x dương, nên x = 2).
Với y = 3, ta có 2 là số nguyên tố.

Kết quả: (x, y) = (2, 3).

2. Nếu k = 4:
k^3 = 64,
x^2 = 64 - 23 = 41 (không phải là số chính phương).

3. Nếu k = 2:
k^3 = 8,
x^2 = 8 - 23 = -15 (không hợp lệ vì x^2 không âm).

4. Nếu k = 5:
k^3 = 125,
x^2 = 125 - 23 = 102 (không phải là số chính phương).

Tiếp tục thử nghiệm cho các giá trị của k vượt quá 5 sẽ cho thấy rằng x^2 luôn trở nên lớn hơn kết quả của một số chính phương. Do đó, ta chỉ cần kiểm tra k đến 5.

Sau khi thăm dò các giá trị k trong khoảng từ 2 đến 5, ta chỉ tìm được một cặp (x, y) là (2, 3).

Kết luận: Các số nguyên tố x và y thỏa mãn phương trình x^2 + 23 = y^3 là (x, y) = (2, 3).