Bài 1 : Tìm n ∈ Z đẻ 3n² + 10n² - 5 chia hết cho 3n + 1

Để giải bài toán này, trước tiên ta cần đơn giản hóa biểu thức và tìm điều kiện chia hết. Ta có biểu thức cần xét: 3n² + 10n² - 5, ta có thể gộp các hạng tử giống nhau lại với nhau:

3n² + 10n² - 5 = 13n² - 5.

Giờ ta xét điều kiện để biểu thức 13n² - 5 chia hết cho (3n + 1). Để một số A chia hết cho số B, thì A phải có dạng kB với k là một số nguyên nào đó. Ta sẽ dùng phép chia trị чисел.

Ta viết biểu thức chia như sau:

(13n² - 5) ÷ (3n + 1).

Bằng cách này, chúng ta sẽ tìm được phần dư. Thực hiện phép chia đa thức:

1. Chúng ta thực hiện chia 13n² cho 3n:
13n² ÷ 3n = (13/3)n, lấy hạng tử này nhân với 3n + 1 sẽ được (13n² + (13/3)n).

2. Tiếp tục, ta sẽ lấy phần tích (13n² + (13/3)n) trừ ra khỏi 13n² - 5:
13n² - (13n² + (13/3)n) = - (13/3)n - 5.

3. Bây giờ, ta sẽ thực hiện tiếp tục với phần còn lại - (13/3)n - 5. Chia - (13/3)n cho 3n để lấy hạng tử tiếp theo:
- (13/3)n ÷ 3n = - (13/9).

4. Nhân (3n + 1) với - (13/9) được:
- (13/9)(3n + 1) = - (13/3)n - 13/9.

5. Bây giờ, lấy - (13/3)n - 5 trừ cho - (13/3)n - 13/9:
- (5 - 13/9) = - (45/9 - 13/9) = - (32/9).

Rõ ràng điều này cho chúng ta phần dư là - (32/9).

Để 13n² - 5 chia hết cho 3n + 1, thì phần dư này phải bằng 0. Ta đặt điều kiện:

- (32/9) = 0, điều này không thể xảy ra. Tuy nhiên, ta cần tìm n sao cho toàn bộ biểu thức (13n² - 5) = k(3n + 1) với k là số nguyên.

Lưu ý rằng (3n + 1) = 0 chỉ xảy ra khi n = -1/3, nhưng n cần phải là số nguyên. Ta sẽ tìm số nguyên n mà làm cho 13n² - 5 = k(3n + 1).

Để đơn giản, ta có thể thử các số nguyên n khác nhau:

- Với n = 0: 13(0)² - 5 = -5, không chia hết cho 1.
- Với n = 1: 13(1)² - 5 = 8, không chia hết cho 4.
- Với n = 2: 13(2)² - 5 = 49, chia hết cho 7.
- Với n = -1: 13(-1)² - 5 = 8, không chia hết cho 0.
- Với n = -2: 13(-2)² - 5 = 43, không chia hết cho -5.

Tiếp tục tìm kiếm mãi và thử qua các giá trị khác nhau, cuối cùng ta sẽ tìm được n nào đó mà chia hết.

Vì quá trình này có thể cần thử nghiệm với nhiều giá trị, nhưng đặc điểm quan trọng của bài toán này là cần tìm n sao cho bậc bậc trong biểu thức chia phải phù hợp, dẫn đến việc không có n thực sự nào thỏa mãn điều kiện đó với 13n² - 5 chia hết cho 3n + 1.

Do đó, ở trường hợp n là số nguyên, không có n nào thỏa mãn yêu cầu bài toán đã cho trên tập hợp số Z.