mọi người giúp em câu này với ạ

Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần theo trình tự.

a) Khi m = -1/2, ta thay giá trị này vào phương trình:

e^x = ln(x - 1) - 1.

Ta cần khảo sát hàm bên trái (e^x) và bên phải (ln(x - 1) - 1) để xem có bao nhiêu nghiệm.

- Hàm e^x luôn dương với mọi x, còn hàm ln(x - 1) chỉ xác định khi x > 1 và nội suy giá trị sẽ thu về âm cho x < e, do đó bên phải chỉ có giá trị xác định và có một điểm cực trị tại x = 1.
- Khi m = -1/2, hàm bên phải sẽ giao với hàm bên trái tại một điểm duy nhất. Do đó, khi m = -1/2, tập S có một phần tử.

b) Để tập S bằng tập rỗng, phương trình e^x = ln(x + 2m) + m cần không có nghiệm. Hệ thống này sẽ không có nghiệm khi hàm bên trái e^x lớn hơn hàm phải với mọi x.

Nhìn vào phương trình:
- Để e^x luôn lớn hơn, cần xem xét giá trị của m.
- Nếu m đủ nhỏ, chẳng hạn khi m < 0, sẽ làm cho ln(x + 2m) trở thành giá trị âm hoặc không xác định (khi x + 2m ≤ 0).

Vì vậy, nếu chọn m là một số nguyên dương lớn mà không thoả mãn điều kiện của ln, thì sẽ có được nhiều giá trị nguyên để S trở thành tập rỗng.

c) Tập S có nhiều nhất 3 phần tử. Để cả ba nghiệm đều tồn tại, phương trình cần có ba điểm cắt nhau giữa hai hàm. Để điều này xảy ra, cấu trúc của hàm bên phải phải điều chỉnh sao cho hàm họp đồng biến đủ điều kiện tạo thành 3 nghiệm.

Cụ thể, tính toán sẽ cho thấy rằng chỉ cần hàm ln(x + 2m) thu nhận đủ độ tăng so với hàm e^x.

d) Tại các giá trị nguyên của m thuộc (-2025; 2025), phương trình có nghiệm. Tức m có thể được chọn trong khoảng giữa để cho hàm ln dương và đủ to so với e^x, từ đó có ít nhất một nghiệm. Thực tế điều này có thể được kiểm tra bằng cách chọn các m trong khoảng và kiểm tra dấu hiệu tạo nên nghiệm từ phân tích đồ thị của hàm.

Do đó, chúng ta có thể kết luận và biết rằng bài toán cần khảo sát sâu các công thức hàm để đưa ra điều kiện cho từng giá trị tương ứng của m.