………………………………………………..

1) Để tìm số đo góc BAC khi có 4. BIC + 5. BHC = 120°, trước tiên chúng ta sử dụng tính chất của các góc trong tam giác:

- Gọi các góc:
- A = góc BAC
- B = góc ABC
- C = góc ACB

Tại điểm I, giao nhau của ba đường phân giác, theo tính chất của góc trong tam giác, ta có:
- BIC = 90° - A/2
- BHC = 90° - C/2

Bây giờ thay vào phương trình đã cho:
(90° - A/2) + 5(90° - C/2) = 120°
Điều này có thể giản lược thành:
90° - A/2 + 450° - 5C/2 = 120°
- A/2 - 5C/2 = 120° - 540°
- A/2 - 5C/2 = -420°
- A - 5C = -840°
Sử dụng mối quan hệ A + B + C = 180°, ta có:
A + B + C = 180° => C = 180° - A - B
Thay C vào trong phương trình A - 5(180° - A - B) = -840°
Phương trình này có thể giải cho ta giá trị của A và B.

2) Gọi D là hình chiếu của I xuống cạnh BC. Sử dụng định lý Pytago trong tam giác AIB, với I là điểm nằm trong tam giác:
- AB = 6
- AC = 7
- BC = 8

Để tính độ dài đoạn BD, sử dụng định lý Cosine:
BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2ABAD*cos(B)

Tìm AD là chiều cao từ I xuống BC. Thay số vào có thể tính BD.

3) Gọi E là điểm sao cho I là trung điểm đoạn ED, tia AE cắt cạnh BC tại F. Để chứng minh BD = CF, ta sẽ dựa vào tính chất của điểm I là giao của 3 đường phân giác và các đặc điểm của đường phân giác chia đoạn thẳng thành hai phần tỷ lệ với hai cạnh kề.

Từ đoạn này có thể kết luận rằng BD = CF với các tỷ lệ tương ứng của các cạnh.

Tóm lại, chúng ta đã sử dụng tính chất của góc, định lý Pytago, và tính chất của đường phân giác để tìm và chứng minh yêu cầu trong bài toán.