giải chi tiết giúp mình

Để giải bài toán cho hình chóp S.ABCD có hình đáy là hình vuông O, với M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và SC, ta sẽ xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (BMN) và (ABCD).

1. Xác định tọa độ các điểm:

Ta sẽ đặt tọa độ cho các điểm theo hệ trục tọa độ 3D để dễ dàng tính toán. Giả sử:
- \( A(0, 1, 0) \)
- \( B(1, 1, 0) \)
- \( C(1, 0, 0) \)
- \( D(0, 0, 0) \)
- \( S(0.5, 0.5, h) \) (h là độ cao của chóp, có thể tùy chọn là 1 cho đơn giản).

2. Tìm tọa độ M và N:

- M là trung điểm của SA:
\( M = \left( \frac{0 + 0.5}{2}, \frac{1 + 0.5}{2}, \frac{0 + h}{2} \right) = \left( 0.25, 0.75, \frac{h}{2} \right) \).

- N là trung điểm của SC:
\( N = \left( \frac{1 + 0.5}{2}, \frac{0 + 0.5}{2}, \frac{0 + h}{2} \right) = \left( 0.75, 0.25, \frac{h}{2} \right) \).

3. Tìm phương trình mặt phẳng (BMN):

Để tìm phương trình mặt phẳng (BMN), trước tiên ta cần vector pháp tuyến của mặt phẳng này.
- Vector \( \overrightarrow{BM} \) = \( M - B = (0.25 - 1, 0.75 - 1, \frac{h}{2} - 0) = (-0.75, -0.25, \frac{h}{2}) \).
- Vector \( \overrightarrow{BN} \) = \( N - B = (0.75 - 1, 0.25 - 1, \frac{h}{2} - 0) = (-0.25, -0.75, \frac{h}{2}) \).
- Tính tích có hướng của 2 vector này để tìm vector pháp tuyến:
\[
\overrightarrow{n_{BMN}} = \overrightarrow{BM} \times \overrightarrow{BN} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
-0.75 & -0.25 & \frac{h}{2} \\
-0.25 & -0.75 & \frac{h}{2}
\end{vmatrix} = \mathbf{i}\left(-0.25\cdot\frac{h}{2} + 0.75\cdot\frac{h}{2}\right) - \mathbf{j}\left(-0.75\cdot\frac{h}{2} + 0.25\cdot\frac{h}{2}\right) + \mathbf{k}\left(-0.75\cdot(-0.75) + 0.25\cdot(-0.25)\right)
\]
\[
= \mathbf{i}\left(0.25\cdot\frac{h}{2}\right) - \mathbf{j}\left(-0.25\cdot\frac{h}{2}\right) + \mathbf{k}\left(0.5625 - 0.0625\right)
= \mathbf{i}\left(0.125h\right) + \mathbf{j}\left(0.125h\right) + \mathbf{k}\left(0.5\right).
\]
- Do đó, phương trình mặt phẳng (BMN):
\[
0.125h(x - 1) + 0.125h(y - 1) + 0.5(z - 0) = 0.
\]

4. Tìm phương trình mặt phẳng (ABCD):

- Mặt phẳng (ABCD) có thể được tìm bằng cách sử dụng các điểm A, B, C, D:
- Từ 4 điểm trên, ta có:
\[
z = 0.
\]

5. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng:

- Để tìm giao tuyến, ta phải giải hệ phương trình gồm phương trình mặt phẳng (BMN) và phương trình (ABCD).
- Ta thay thế vào phương trình mặt phẳng (ABCD):
\[
0 = 0 \quad \text{(luôn đúng)}.
\]
- Sau đó, thay vào phương trình (BMN):
\[
0.125h \left(x - 1\right) + 0.125h \left(y - 1\right) + 0.5z = 0.
\]

6. Kết luận:

Giao tuyến của hai mặt phẳng (BMN) và (ABCD) là khoảng thẳng, cụ thể là:
\[
z = 0 \quad \text{và} \quad 0.125h \left(x - 1\right) + 0.125h \left(y - 1\right) = -0.5z.
\]

Phương trình giao tuyến này có thể được biểu diễn dưới dạng tham số để tìm tọa độ cụ thể nếu cần thiết.