SOOOOOOOOOOOOSSSSSSSSS

a) \(\sqrt{\frac{27}{75}}\)

Trước tiên, ta rút gọn phân số bên trong căn.

27 và 75 có 3 là ước chung lớn nhất. Ta có:

\[
\frac{27}{75} = \frac{27 \div 3}{75 \div 3} = \frac{9}{25}
\]

Sau đó, ta tính giá trị của căn:

\[
\sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5}
\]

Vạy, kết quả rút gọn là \( \frac{3}{5} \).

b) \( \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}} \)

Để rút gọn biểu thức này, ta thực hiện nhân cả tử và mẫu với \( \sqrt{10} \):

\[
\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5 \cdot 2}} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}}
\]

Tiếp theo, ta cũng có thể nhân cả tử và mẫu với \( \sqrt{2} \) để loại bỏ căn trong mẫu:

\[
\frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}
\]

Vậy, kết quả gọn lại là \( \sqrt{2} \).

c) \( \frac{\sqrt{3ab^4}}{\sqrt{27a}} \) với \( a > 0 \)

Đầu tiên, ta có thể sử dụng quy tắc rằng \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} = \sqrt{\frac{x}{y}}\):

\[
\frac{\sqrt{3ab^4}}{\sqrt{27a}} = \sqrt{\frac{3ab^4}{27a}} = \sqrt{\frac{b^4}{9}} = \frac{b^2}{3}
\]

Nên, kết quả là \(\frac{b^2}{3}\).

d) \( \sqrt{\frac{3a^2b}{27}} \) với \( a \leq 0, b \geq 0 \)

Trước tiên, ta rút gọn phân số bên trong căn:

\[
\frac{3a^2b}{27} = \frac{a^2b}{9}
\]

Bây giờ, ta lấy căn bậc hai:

\[
\sqrt{\frac{a^2b}{9}} = \frac{\sqrt{a^2} \sqrt{b}}{\sqrt{9}} = \frac{|a| \sqrt{b}}{3}
\]

Với \( a \leq 0 \), ta có \(|a| = -a\). Nên biểu thức cuối cùng là:

\[
\frac{-a \sqrt{b}}{3}
\]

Vậy, kết quả cuối cùng là \(\frac{-a \sqrt{b}}{3}\).