Giúp mình với mọi người

Bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = \frac{ab}{a+b} + \frac{bc}{b+c} + \frac{ca}{c+a} \) với điều kiện \( a + b + c = 1 \).

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)(y_1^2 + y_2^2 + y_3^2) \geq (x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3)^2
\]

Trong trường hợp này, chọn \( x_1 = \frac{a}{a+b}, x_2 = \frac{b}{b+c}, x_3 = \frac{c}{c+a} \) và \( y_1 = b, y_2 = c, y_3 = a \).

Áp dụng Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
\left( \frac{ab}{a+b} + \frac{bc}{b+c} + \frac{ca}{c+a} \right) \left( (a+b) + (b+c) + (c+a) \right) \geq (ab + bc + ca)^2
\]

Gom nhóm lại, ta có:

\[
P \cdot 2(a + b + c) \geq (ab + bc + ca)^2
\]

Vì \( a + b + c = 1 \), vậy ta có:

\[
2P \geq (ab + bc + ca)^2
\]

Khi \( P\) lớn nhất khi \( ab + bc + ca \) lớn nhất. Theo cách tìm giá trị cực đại của \( ab + bc + ca \), trong trường hợp \( a + b + c = 1 \), ta biết rằng \( ab + ac + bc \) có giá trị lớn nhất khi \( a = b = c = \frac{1}{3} \).

Từ đó, ta tính được:

\[
P = 3 \cdot \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{9}}{\frac{2}{3}} = 3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2}
\]

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \( P \) là \( \frac{1}{2} \).