tìm x,y,z biết $sqrt{x+1}$ +$sqrt{y-3}$ +$sqrt{z-1}$ =$frac{1}{2}$(x+y+z)

Để giải phương trình
$$\sqrt{x+1} + \sqrt{y-3} + \sqrt{z-1} = \frac{1}{2}(x+y+z),$$
ta bắt đầu phân tích từng thành phần của phương trình.

Trước tiên, đặt:
$$ a = \sqrt{x + 1}, \quad b = \sqrt{y - 3}, \quad c = \sqrt{z - 1}. $$

Ta có những điều kiện sau từ các định nghĩa căn bậc hai:
- x = a² - 1 (vì từ x + 1 = a²)
- y = b² + 3 (vì từ y - 3 = b²)
- z = c² + 1 (vì từ z - 1 = c²)

Thay a, b, c vào phương trình gốc, ta có:
$$a + b + c = \frac{1}{2}((a^2 - 1) + (b^2 + 3) + (c^2 + 1)),$$
hay
$$a + b + c = \frac{1}{2}(a^2 + b^2 + c^2 + 3).$$

Nhân cả hai bên với 2 để đơn giản hóa, chúng ta có:
$$2(a + b + c) = a^2 + b^2 + c^2 + 3.$$

Áp dụng định lý bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta biết rằng:
$$(a + b + c)^2 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2).$$
Điều này cho thấy
$$a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{(a + b + c)^2}{3}.$$

Sử dụng điều này trong phương trình vừa thiết lập, ta có thể viết lại như sau:
$$2(a + b + c) \leq a^2 + b^2 + c^2 + 3 \implies 2(a + b + c) \leq 3 + 2(a + b + c),$$
giúp cho ta có sự so sánh giữa các thành phần.

Như vậy, ta có thể thấy rằng
$$a + b + c \geq 3 \sqrt[3]{abc}.$$

Giả sử a = b = c, ta có một cách giải để tìm nghiệm. Từ đây, giải hệ có thể rút ra của phương trình ban đầu sẽ có hình thức như sau:
$$ a = b = c $$ từ điều kiện tương đương:
$$ \sqrt{x+1} = \sqrt{y-3} = \sqrt{z-1}. $$

Giả sử ta chọn giá trị cụ thể, ví dụ:
- Giả sử \( a = b = c = 1 \), tức là \( \sqrt{x+1} = 1 \), \( \sqrt{y-3} = 1 \), \( \sqrt{z-1} = 1 \).

Từ đây, ta có:
$$ x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0, $$
$$ y - 3 = 1 \Rightarrow y = 4, $$
$$ z - 1 = 1 \Rightarrow z = 2. $$

Tổng hợp lại, ta có nghiệm là:
- x = 0,
- y = 4,
- z = 2.

Bây giờ, ta kiểm tra nghiệm:
$$ \sqrt{0 + 1} + \sqrt{4 - 3} + \sqrt{2 - 1} = 1 + 1 + 1 = 3,$$
và
$$ \frac{1}{2}(0 + 4 + 2) = \frac{1}{2} \times 6 = 3. $$

Vậy, nghiệm thoả mãn phương trình ban đầu là x = 0, y = 4, z = 2.