tìm x,y,z biết $sqrt{x+1}$ +$sqrt{y-3}$ +$sqrt{z-1}$ =$frac{1}{2}$(x+y+z)

Để giải phương trình
$$\sqrt{x+1}+\sqrt{y-3}+\sqrt{z-1}=\frac{1}{2}(x+y+z),$$
ta bắt đầu phân tích từng thành phần của phương trình.

Trước tiên, đặt:
$$a=\sqrt{x+1},b=\sqrt{y-3},c=\sqrt{z-1}.$$

Ta có những điều kiện sau từ các định nghĩa căn bậc hai:
- x = a² - 1 (vì từ x + 1 = a²)
- y = b² + 3 (vì từ y - 3 = b²)
- z = c² + 1 (vì từ z - 1 = c²)

Thay a, b, c vào phương trình gốc, ta có:
$$a+b+c=\frac{1}{2}((a^2-1)+(b^2+3)+(c^2+1)),$$
hay
$$a+b+c=\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2+3).$$

Nhân cả hai bên với 2 để đơn giản hóa, chúng ta có:
$$2(a+b+c)=a^2+b^2+c^2+3.$$

Áp dụng định lý bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta biết rằng:
$$(a+b+c{)}^2\le 3(a^2+b^2+c^2).$$
Điều này cho thấy
$$a^2+b^2+c^2\ge \frac{(a+b+c{)}^2}{3}.$$

Sử dụng điều này trong phương trình vừa thiết lập, ta có thể viết lại như sau:
$$2(a+b+c)\le a^2+b^2+c^2+3⟹2(a+b+c)\le 3+2(a+b+c),$$
giúp cho ta có sự so sánh giữa các thành phần.

Như vậy, ta có thể thấy rằng
$$a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}.$$

Giả sử a = b = c, ta có một cách giải để tìm nghiệm. Từ đây, giải hệ có thể rút ra của phương trình ban đầu sẽ có hình thức như sau:
$$a=b=c$$ từ điều kiện tương đương:
$$\sqrt{x+1}=\sqrt{y-3}=\sqrt{z-1}.$$

Giả sử ta chọn giá trị cụ thể, ví dụ:
- Giả sử $a=b=c=1$, tức là $\sqrt{x+1}=1$, $\sqrt{y-3}=1$, $\sqrt{z-1}=1$.

Từ đây, ta có:
$$x+1=1\Rightarrow x=0,$$
$$y-3=1\Rightarrow y=4,$$
$$z-1=1\Rightarrow z=2.$$

Tổng hợp lại, ta có nghiệm là:
- x = 0,
- y = 4,
- z = 2.

Bây giờ, ta kiểm tra nghiệm:
$$\sqrt{0+1}+\sqrt{4-3}+\sqrt{2-1}=1+1+1=3,$$
và
$$\frac{1}{2}(0+4+2)=\frac{1}{2}\times 6=3.$$

Vậy, nghiệm thoả mãn phương trình ban đầu là x = 0, y = 4, z = 2.