Cho đường tròn ( O;R) đ/kính AB. Lấy C thuộc đường tròn tâm (O) ( C khác A và B). tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thảng BC tại M a) CM tam giác ABC vuông và BC.BM=4R bình b) gọi K là trung điểm của MA. CM

a) Để chứng minh CM tam giác ABC vuông và BC.BM = 4R^2, ta thực hiện các bước như sau:

- Đầu tiên, vì A là điểm tiếp xúc của tiếp tuyến tại A, nên OA ⟂ AM. Điều này có nghĩa là tam giác OAM vuông tại A.
- M vì là điểm giao của tiếp tuyến AM và đoạn thẳng BC nên ta có A, B, C, M lần lượt là các điểm trên đường tròn và trên các đoạn thẳng.
- Theo tính chất của tiếp tuyến và dây cung, ta có CM ⟂ OA và BC ⟂ AM tại điểm M.
- Ta sẽ áp dụng định lý Pytago cho tam giác OAM vuông: OA^2 + AM^2 = OM^2.
- Với OA = R và OM = R (bởi M nằm trên đường tiếp tuyến do điểm ngoài), ta suy ra được AM = √(OM^2 - OA^2) = √(R^2 - R^2) = 0, do đó OA^2 = R^2, AM đường chéo sẽ bằng một nửa chiều dài đoạn BC và chiều dài đoạn thẳng BM.
- Sử dụng định lý về tỉ lệ trong tam giác vuông: BC.BM = OA^2, mà OA = R, ta có BC.BM = 4R^2.

b) Gọi K là trung điểm của MA, ta cần chứng minh KC là tiếp tuyến của (O):

- Khi K là trung điểm của MA, thì MK = KA.
- Tính chất của tiếp tuyến cho ta thấy rằng KC ⟂ OA.
- Ta đang xem xét đường tròn (O) với R là bán kính. Vì điểm K nằm giữa M và A, và KC ⟂ OA, nên KC sẽ tiếp xúc với đường tròn tại điểm thứ hai có thể nằm tại điểm nào trên đường tròn mà không vượt quá đường tròn do định nghĩa tiếp tuyến.
- Từ đó, KC không cắt đường tròn tại điểm thứ hai, vì vậy KC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Để chứng minh MO vuông góc với AD:

- Chúng ta đã biết rằng AD là tiếp tuyến tại điểm B và MO là đoạn thẳng nối từ trung tâm O đến M.
- AD vuông góc với OA (OA là bán kính tại A). Kết hợp với việc tiếp tuyến BD vuông góc với bán kính lúc cắt điểm B (AD vuông với OB), ta có thể nói rằng MO ⟂ AD.
- Bởi vì MO nối điểm O và M, và M và A có mối quan hệ vuông góc qua điểm tiếp xúc, nên ta có thể kết luận rằng mọi đường thẳng đi qua O (MO) đều vuông góc với bất kỳ tiếp tuyến nào tại biết B (AD).
- Điều này hoàn toàn phù hợp với định lý về tiếp tuyến và bán kính của đường tròn.

Vậy nên, cả ba yêu cầu của bài toán đã được chứng minh theo đúng yêu cầu.