Chứng minh : a) vectơ OA+OB+OC+OD=0                          B) vectơ MA+MC=MD+MB

a) Để chứng minh vectơ OA + OB + OC + OD = 0, ta cần hiểu rõ các vectơ này đại diện cho gì trong không gian. Ở đây, O là gốc tọa độ, A, B, C, D là các điểm trong không gian.

Giả sử A, B, C, D có tọa độ tương ứng là OA = (x_A, y_A, z_A), OB = (x_B, y_B, z_B), OC = (x_C, y_C, z_C), OD = (x_D, y_D, z_D). Tổng hợp lại ta có:

OA + OB + OC + OD = (x_A + x_B + x_C + x_D, y_A + y_B + y_C + y_D, z_A + z_B + z_C + z_D)

Để vectơ OA + OB + OC + OD bằng 0, nghĩa là:

x_A + x_B + x_C + x_D = 0
y_A + y_B + y_C + y_D = 0
z_A + z_B + z_C + z_D = 0

Điều này chỉ xảy ra khi tọa độ trung bình của 4 điểm A, B, C, D là gốc tọa độ O. Về mặt hình học, điều này có thể được hiểu là 4 điểm đang tạo thành một hình tứ diện có tâm là điểm O. Khi 4 điểm này cân bằng xung quanh O, tổng các vectơ từ O đến các điểm này sẽ triệt tiêu nhau, vì vậy thu được OA + OB + OC + OD = 0.

b) Để chứng minh vectơ MA + MC = MD + MB, ta cần hiểu rõ các vectơ này. Trong đó, M là một điểm bất kỳ trong không gian, và A, B, C, D là các điểm đã cho.

Cách tiếp cận để chứng minh điều này sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành hoặc định luật hình thoi. Tạo các vectơ tương ứng:

MA + MC = (x_A - x_M, y_A - y_M, z_A - z_M) + (x_C - x_M, y_C - y_M, z_C - z_M)
= (x_A + x_C - 2x_M, y_A + y_C - 2y_M, z_A + z_C - 2z_M)

MD + MB = (x_D - x_M, y_D - y_M, z_D - z_M) + (x_B - x_M, y_B - y_M, z_B - z_M)
= (x_D + x_B - 2x_M, y_D + y_B - 2y_M, z_D + z_B - 2z_M)

Để chứng minh MA + MC = MD + MB, ta cần cho rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB và CD, hoặc các điểm A, B, C, D có sự liên kết đặc biệt nào đó (như hình thang hoặc hình thoi). Nếu M là trung điểm của AB và CD, thì theo định nghĩa, tổng các vectơ từ M đến A và C (gọi là MA và MC) sẽ bằng tổng các vectơ từ M đến B và D (gọi là MD và MB).

Điều này có thể chứng minh qua các tính chất của các hình học không gian, thể hiện rằng vectơ từ M đến trung điểm của một cạnh sẽ tương đương với vectơ từ M đến trung điểm của cạnh còn lại. Do đó, MA + MC = MD + MB.