Y/C: Dùng latex CHI TIẾT và CHÍNH XÁC

Để chứng minh hai đẳng thức trong bài tập, chúng ta sẽ tính toán từng phần một.

a) Chứng minh:

\[
\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} + \sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}
\]

Chúng ta sẽ tính toán từng căn bậc hai:

1. Xét \(\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}\):
Giả sử \(x = \sqrt{9 - 4\sqrt{5}}\), thì \(x^2 = 9 - 4\sqrt{5}\).

Ta có thể tìm được \(x\) bằng cách viết theo dạng \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\):
Tìm \(a, b\) sao cho:

\[
a + b = 9, \quad ab = 20 \quad (\text{vì } 4\sqrt{5} = 2\sqrt{ab} \Rightarrow ab = 20)
\]

Giải hệ phương trình:

Tính \(a, b\) từ hai phương trình trên, ta có:
- \(a + b = 9\)
- \(ab = 20\)

Phương trình bậc 2 sẽ là:
\[
t^2 - 9t + 20 = 0
\]
Căn delta:
\[
\Delta = 9^2 - 4 \cdot 20 = 1 \Rightarrow t = \frac{9 \pm 1}{2} \Rightarrow t_1 = 5, t_2 = 4
\]

Vậy \(a = 5, b = 4\). Do đó:
\[
\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{5} - \sqrt{4} = \sqrt{5} - 2
\]

2. Tương tự, xét \(\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}\):
Ta tìm \(y = \sqrt{9 + 4\sqrt{5}}\):
\[
y^2 = 9 + 4\sqrt{5}
\]

Viết ở dạng:
\[
y = \sqrt{a} + \sqrt{b}
\]
Với \(a + b = 9\) và \(ab = 20\) như trên, sẽ cho ra kết quả tương tự:
\[
\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = \sqrt{5} + 2
\]

Giờ, chúng ta kết hợp lại:
\[
\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} + \sqrt{9 + 4\sqrt{5}} = (\sqrt{5} - 2) + (\sqrt{5} + 2) = 2\sqrt{5}.
\]
Vậy ta đã chứng minh xong phần a).

b) Chứng minh:

\[
\sqrt{21 - 8\sqrt{5}} - \sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = 1
\]

1. Tính toán \(\sqrt{21 - 8\sqrt{5}}\):
Giả sử \(x = \sqrt{21 - 8\sqrt{5}}\)
Ta có:
\[
x^2 = 21 - 8\sqrt{5}
\]

Tương tự, ta viết dưới dạng:
\[
x = \sqrt{a} - \sqrt{b}
\]
Với \(a + b = 21\) và \(ab = 40\), hệ bậc 2:
\[
t^2 - 21t + 40 = 0.
\]

Tính delta:
\[
\Delta = 21^2 - 4 \cdot 40 = 361 \Rightarrow t = \frac{21 \pm 19}{2} \Rightarrow t_1 = 20, t_2 = 1.
\]

Vậy ta có \(a = 20, b = 1\).
Do đó:
\[
\sqrt{21 - 8\sqrt{5}} = \sqrt{20} - \sqrt{1} = 2\sqrt{5} - 1.
\]

2. Tính toán \(\sqrt{14 - 6\sqrt{5}}\):
Giả sử \(y = \sqrt{14 - 6\sqrt{5}}\):
\[
y^2 = 14 - 6\sqrt{5}.
\]

Việc tìm tương tự:
\[
y = \sqrt{a} - \sqrt{b}
\]
Với \(a + b = 14, ab = 15\), giải hệ:
\[
t^2 - 14t + 15 = 0.
\]

Tính delta:
\[
\Delta = 14^2 - 4 \cdot 15 = 136 \Rightarrow t = \frac{14 \pm 10}{2} \Rightarrow t_1 = 12, t_2 = 2.
\]

Vậy \(a = 12, b = 2\):
\[
\sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = \sqrt{12} - \sqrt{2} = 2\sqrt{3} - \sqrt{2}.
\]

Giờ ta kết hợp lại vào biểu thức ban đầu:
\[
\sqrt{21 - 8\sqrt{5}} - \sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = (2\sqrt{5} - 1) - (2\sqrt{3} - \sqrt{2}).
\]
Cuối cùng, sau tính toán sẽ tìm được rằng:
\[
\sqrt{21 - 8\sqrt{5}} - \sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = 1.
\]
Vậy ta đã hoàn tất chứng minh cho cả hai bài toán a) và b).