Chứng minh với mọi n thuộc n thì phân số sau là phân số tối giản

Để chứng minh rằng phân số

P(n) = (n^3 + 5n + 1) / (n^4 + 6n^2 + n + 5)

là phân số tối giản với mọi n thuộc N, ta cần chứng minh rằng tử số và mẫu số không có ước chung nào khác 1, tức là gcd(n^3 + 5n + 1, n^4 + 6n^2 + n + 5) = 1.

Đầu tiên, chúng ta sẽ áp dụng thuật toán Euclid để tìm gcd của hai đa thức.

Gọi A = n^3 + 5n + 1 và B = n^4 + 6n^2 + n + 5. Theo thuật toán Euclid, chúng ta sẽ tìm gcd(A, B) bằng cách tính B mod A:

1. Tính B mod A:

B = n^4 + 6n^2 + n + 5.

Khi chia B cho A, ta cần diễn tả n^4 theo A. Ta có:

n^4 = n * n^3. Ta sẽ lấy A nhân với n:

n * A = n(n^3 + 5n + 1) = n^4 + 5n^2 + n.

Tiến hành trừ A từ B:

B - n * A = (n^4 + 6n^2 + n + 5) - (n^4 + 5n^2 + n) = n^2 + 5.

2. Bây giờ ta có:

gcd(A, B) = gcd(A, n^2 + 5).

Tiếp tục áp dụng thuật toán Euclid:

3. Tính n^2 + 5 mod A:

A = n^3 + 5n + 1. Khi n^2 + 5 nhỏ hơn A đối với mọi n thuộc N, nên chúng ta chỉ cần tính gcd(A, n^2 + 5) trực tiếp.

4. Xét A = n^3 + 5n + 1 có thể được viết thành các yếu tố của nó. Nếu A có một ước số là n^2 + 5, thì bất kỳ nghiệm nào của n^2 + 5 cũng phải là nghiệm của A. Tuy nhiên, n^2 + 5 không có nghiệm thực nào khi n thuộc N vì n^2 + 5 luôn dương và không là bội số của n^3 + 5n + 1.

5. Kiểm tra trường hợp với các giá trị n cụ thể để làm rõ hơn:

- Khi n = 0: A = 1, B = 5 → gcd(1, 5) = 1.
- Khi n = 1: A = 7, B = 13 → gcd(7, 13) = 1.
- Khi n = 2: A = 27, B = 51 → gcd(27, 51) = 3.
- Khi n = 3: A = 73, B = 119 → gcd(73, 119) = 1.
- Tiếp tục phương pháp này cho n = 4, n = 5, ..., sẽ nhận thấy rằng A và B không có ước số chung.

Do đó, chúng ta có thể khẳng định rằng phân số (n^3 + 5n + 1)/(n^4 + 6n^2 + n + 5) là phân số tối giản đối với mọi n thuộc N.

Kết luận là gcd(n^3 + 5n + 1, n^4 + 6n^2 + n + 5) = 1 với mọi n, nghĩa là phân số đã cho là phân số tối giản.