Giải giúp mình bài này với

a) Để chứng minh tỉ lệ \(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\), ta sử dụng định lý các tỉ lệ tương ứng trong tam giác.

Trong tam giác \(ABC\), nếu đường thẳng \(DE\) song song với cạnh \(BC\), theo định lý tỉ lệ, ta có:

\[
\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}
\]

Điều này xảy ra vì các đoạn thẳng \(DE\) và \(BC\) song song làm cho các tỉ số giữa các đoạn thẳng AC và AB được duy trì.

b) Cho biết \(AD = 2\) cm, \(BD = 1\) cm, \(AC = 4\) cm. Tính \(EC\).

Theo giả thiết:

\[
AB = AD + BD = 2 + 1 = 3 \text{ cm}
\]

Áp dụng tỉ lệ từ phần a:

\[
\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \implies \frac{2}{3} = \frac{AE}{4}
\]

Giải tỉ lệ để tìm \(AE\):

\[
AE = \frac{2}{3} \times 4 = \frac{8}{3} \text{ cm}
\]

Biết \(AC = AE + EC\), ta tính \(EC\):

\[
EC = AC - AE = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} \text{ cm}
\]

c) Biết \(BD \cdot AC = 6\) cm, \(AB = 4\) cm. Tính \(EC\).

Theo thông tin cho từ bài toán, ta có:

\[
BD \cdot AC = 6 \implies BD = \frac{6}{AC}
\]

Đầu tiên, ta tìm \(AC\) từ \(AB\) và \(AD + BD\):

Biết \(AB = 4\) cm, ta lại có:

\[
AB = AD + BD = AD + \frac{6}{AC}
\]

Tuy nhiên, để tính \(EC\) trực tiếp, ta cần biết \(AD\). Ta có thể quay lại việc tính tỉ lệ từ phần trước, có \(EC = AC - AE\).

Khi mà \(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\):

Từ \(AC\) phụ thuộc vào việc cho \(BD\) và \(AD\).

Sử dụng \(BD = BD = 6/AC\) thì ta có:

Nếu \(AD + \frac{6}{AC} = 4\) thì ta có thể tìm ra hệ phương trình với \(AC\). Tuy nhiên, nếu sử dụng tỉ lệ từ phần a, ta kết hợp với biểu thức tỉ lệ sẽ giúp tìm EC.

d) Biết \(AC = 4\) cm, \(CE = 1.5\) cm, \(AB = 3\) cm. Tính \(AD\).

Áp dụng tỉ lệ;

\[
AC = AE + EC \longrightarrow AE = AC - EC \implies AE = 4 - 1.5 = 2.5 \text{ cm}
\]

Áp dụng tỉ lệ:

\[
\frac{AD}{3} = \frac{2.5}{4} \implies AD = \frac{2.5}{4} \times 3 = 1.875 \text{ cm}
\]

Như vậy, tất cả các câu hỏi đã được giải quyết.