Cho tam giác ABC, (I) là đường tròn nội tiếp, tiếp xúc BC, CA, AB tại D, E, F. EF cắt BC tại T a) Chứng minh TD2=TE.TF b) Chứng minh TI vuông góc với AD c) AD cắt EF tại K. C/m IK vuông góc AT

a) Để chứng minh TD² = TE.TF, chúng ta sử dụng tính chất của đường tròn nội tiếp. Theo định nghĩa, I là giao điểm các đường phân giác của tam giác, do đó, I đến các điểm D, E, F là các khoảng cách từ I đến các cạnh của tam giác.

Khi EF cắt BC tại T, theo định nghĩa đường tròn nội tiếp, ta có:
- TD là khoảng cách từ T đến cạnh BC,
- TE là khoảng cách từ E đến cạnh CA,
- TF là khoảng cách từ F đến cạnh AB.

Theo định lý tiếp xúc, ta có:
TE.TF = TI² - TD² (1)

Vì T nằm trên đường EF, đoạn TD được định nghĩa là khoảng cách từ điểm T đến cạnh BC, tức là:
TD = TI.sin(∠TIE) (2)

Tại điểm E, theo tính chất của tỉ lệ, ta có:
TE = TI.cos(∠TIE) (3)

Từ (1), thay thế (2) và (3) vào, ta sẽ thấy rằng:
TD² = TI²*sin²(∠TIE) = TE.TF.

b) Để chứng minh TI vuông góc với AD, ta xem xét rằng I là giao điểm các đường phân giác của tam giác. Theo định lý về đường phân giác, đường phân giác của góc A (tức là đường AD) sẽ vuông góc với đường tròn nội tiếp tại I.

Vì AD là đường phân giác của góc A, nên TI sẽ luôn vuông góc với đường phân giác này. Khi đường phân giác chia đôi góc A, nó tạo thành một góc 90 độ tại giao điểm, do đó TI vuông góc với AD.

c) Để chứng minh IK vuông góc AT, xét điểm K là giao điểm của AD và EF. Tại K, ta có các điểm I, A, và E nằm trên cùng một đường thẳng với EF.

Vì AD là đường phân giác và EF là đường tiếp tuyến đến đường tròn nội tiếp, nên khi AD cắt EF tại K, toàn bộ cấu trúc hình học này cho thấy rằng IK sẽ vuông góc với đường thẳng AT vì K tạo thành một góc vuông tại đây do sự phân chia của đường phân giác.

Vì vậy, chúng ta có IK vuông góc với AT.