chọn số tự nhiên . Chứng tỏ rằng 2n+1 và 3n+2 là số nguyên tố cùng nhau

Để chứng minh rằng \(2n + 1\) và \(3n + 2\) là số nguyên tố cùng nhau với bất kỳ số tự nhiên \(n\), chúng ta cần chứng minh rằng ước số chung lớn nhất (ƯCLN) của chúng là 1.

Theo định nghĩa, hai số được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu không có ước số nào lớn hơn 1 chia hết cho cả hai số.

Giả sử rằng \(d\) là ước số chung của cả \(2n + 1\) và \(3n + 2\). Điều này có nghĩa là \(d | (2n + 1)\) và \(d | (3n + 2)\).

Chúng ta sẽ sử dụng phép trừ để loại bỏ n:

Từ \(d | (2n + 1)\), ta có thể viết:

1. \(2n + 1 = kd\) với \(k\) là một số nguyên.

Từ \(d | (3n + 2)\), ta có:

2. \(3n + 2 = md\) với \(m\) là một số nguyên.

Bây giờ, hãy biến đổi các phương trình trên và tính \(3n + 2\) - \(1 \cdot (2n + 1)\):

\[
(3n + 2) - (2n + 1) = n + 1
\]

Vậy chúng ta có:

\[
d | (n + 1)
\]

Vì \(d\) chia hết cho cả \(2n + 1\) và \(n + 1\), ta sẽ viết \(n + 1 = ad\) với \(a\) là một số nguyên.

Tiếp theo, ta có thể viết \(n\) theo dạng:

\[
n = ad - 1
\]

Thay giá trị của \(n\) vào biểu thức \(2n + 1\):

\[
2(ad - 1) + 1 = 2ad - 2 + 1 = 2ad - 1
\]

Bây giờ, từ trên ta có:

\[
d | (2ad - 1)
\]

Biểu thức \(2ad - 1\) và \(3n + 2 = 3(ad - 1) + 2 = 3ad - 3 + 2 = 3ad - 1\) đều cho thấy \(d\) chia hết cho một số dạng \(ka - 1\) với \(k\) là số nguyên.

Giờ đây, xét trường hợp \(d\) có thể lớn hơn 1. Khi đó, \(d\) phải chia hết cho một số dạng \(n\), nhưng với cấu trúc này nhận thấy rằng \(2n + 1\) và \(n + 1\) không có ước số chung nào khác ngoài 1.

Vì vậy, ta có thể kết luận rằng \(d\) chỉ có thể là 1. Điều này dẫn đến việc \(2n + 1\) và \(3n + 2\) là nguyên tố cùng nhau, tức là ƯCLN là 1, cho mọi số tự nhiên \(n\).

Kết luận: Đối với mọi \(n\) là số tự nhiên, \(2n + 1\) và \(3n + 2\) là số nguyên tố cùng nhau.