Làm giúp mình với mn

a. Chứng minh rằng tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3.

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là n, n+1, n+2. Tổng của ba số này là:
T(n) = n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1).
Rõ ràng, T(n) chia hết cho 3 vì có thể viết dưới dạng 3 nhân với một số nguyên (n + 1).

b. Chứng minh rằng 60n + 45 chia hết cho 15 nhưng không chia hết cho 30.

Ta có:
60n + 45 = 15(4n + 3).
Vậy 60n + 45 chia hết cho 15.
Để chứng minh không chia hết cho 30, ta xem xét phần dư khi chia 60n + 45 cho 30:
60n + 45 = 30(2n + 1) + 15, suy ra phần dư là 15.
Do đó, 60n + 45 không chia hết cho 30.

c. Chứng minh rằng không có số tự nhiên nào mà chia cho 15 dư 6 và chia 9 dư 1.

Nếu x chia cho 15 dư 6, ta có x = 15k + 6 (k là số nguyên).
Nếu x chia cho 9 dư 1, ta có x = 9m + 1 (m là số nguyên).
Từ đó, ta có phương trình:
15k + 6 = 9m + 1 <=> 15k - 9m = -5.
Giải phương trình này, ta thấy rằng cả hai vế không chia hết cho 3 (15k chia hết cho 3 nhưng -5 không chia hết cho 3), dẫn đến mâu thuẫn, nên không có số tự nhiên nào thoả mãn.

d. Chứng minh rằng (1005a + 2100b) chia hết cho 15.

Ta phân tích từng hạng tử trong biểu thức:
1005a = (15 67)a, 2100b = (15 140)b.
Vậy tổng (1005a + 2100b) = 15(67a + 140b), suy ra chia hết cho 15.

e. Chứng minh rằng A = n^2 + n + 1 không chia hết cho 2 và 5.

Xét A mod 2:
- n là số chẵn: A = chẵn^2 + chẵn + 1 = lẻ.
- n là số lẻ: A = lẻ^2 + lẻ + 1 = lẻ.
Vậy A luôn lẻ, không chia hết cho 2.

Xét A mod 5:
- n = 0, A = 1.
- n = 1, A = 3.
- n = 2, A = 7 (mod 5 là 2).
- n = 3, A = 13 (mod 5 là 3).
- n = 4, A = 21 (mod 5 là 1).
A không bao giờ chia hết cho 5.

f. Chứng minh rằng thể tích (n + 3)(n + 6) chia hết cho 2.

Ta có hai hạng tử n + 3 và n + 6. Một trong hai hạng tử này sẽ luôn là số chẵn (n là số tự nhiên, có thể là chẵn hoặc lẻ).
Do đó, tích (n + 3)(n + 6) sẽ chia hết cho 2.