CM các hằng đẳng thức sau: a) $(a+b)^{2}$ + ($a-b^{2}$) = $2(a^{2}$+$b^{2}$) b) ($a^{2}$ + $b^{2}$)($c^{2}$ + $d^{2}$) = $(ac+bd)^{2}$ + $(bc-ad)^{2}$

a) Chúng ta sẽ chứng minh hằng đẳng thức:

\((a+b)^{2} + (a-b)^{2} = 2(a^{2}+b^{2})\).

Bắt đầu bằng cách khai triển từng phần bên trái.

Khai triển \((a+b)^{2}\):

\((a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}\).

Khai triển \((a-b)^{2}\):

\((a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}\).

Bây giờ, cộng hai kết quả này lại:

\((a+b)^{2} + (a-b)^{2} = (a^{2} + 2ab + b^{2}) + (a^{2} - 2ab + b^{2})\).

Khi cộng lại, hệ số \(2ab\) và \(-2ab\) sẽ triệt tiêu nhau, và ta sẽ có:

\((a+b)^{2} + (a-b)^{2} = a^{2} + b^{2} + a^{2} + b^{2}\).

Điều này tương đương với:

\((a+b)^{2} + (a-b)^{2} = 2(a^{2}+b^{2})\).

Do đó, hằng đẳng thức được chứng minh là đúng.

b) Ta cần chứng minh hằng đẳng thức sau:

\((a^{2} + b^{2})(c^{2} + d^{2}) = (ac + bd)^{2} + (bc - ad)^{2}\).

Bắt đầu bằng cách khai triển hai bên của hằng đẳng thức.

Phía bên trái:

\((a^{2} + b^{2})(c^{2} + d^{2})\)

= \(a^{2}c^{2} + a^{2}d^{2} + b^{2}c^{2} + b^{2}d^{2}\).

Phía bên phải, khai triển \((ac + bd)^{2}\) và \((bc - ad)^{2}\):

\((ac + bd)^{2} = a^{2}c^{2} + 2abcd + b^{2}d^{2}\).

\((bc - ad)^{2} = b^{2}c^{2} - 2abcd + a^{2}d^{2}\).

Bây giờ cộng hai kết quả bên phải lại:

\((ac + bd)^{2} + (bc - ad)^{2} = (a^{2}c^{2} + 2abcd + b^{2}d^{2}) + (b^{2}c^{2} - 2abcd + a^{2}d^{2})\).

Khi cộng hai phần này, ta sẽ có:

= \(a^{2}c^{2} + b^{2}c^{2} + a^{2}d^{2} + b^{2}d^{2}\).

Rõ ràng, phía bên phải này cũng chính là \(a^{2}c^{2} + a^{2}d^{2} + b^{2}c^{2} + b^{2}d^{2}\), giống như phía bên trái chúng ta đã khai triển.

Vậy hằng đẳng thức được chứng minh là đúng.