tìm số tự nhiên n và chữ số a biết 1+2+3+...+n=aa

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm số tự nhiên \( n \) và chữ số \( a \) sao cho tổng của dãy số từ 1 đến \( n \) bằng \( aa \), tức là số có hai chữ số giống nhau \( a \).

Bắt đầu với công thức tính tổng của dãy số từ 1 đến \( n \):
\[
1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n + 1)}{2}
\]
Chúng ta cần thỏa mãn đẳng thức sau:
\[
\frac{n(n + 1)}{2} = aa
\]
Với \( aa \) là số có hai chữ số giống nhau, tức là:
\[
aa = 10a + a = 11a
\]
Khi đó, chúng ta có phương trình:
\[
\frac{n(n + 1)}{2} = 11a
\]
Trong đó \( a \) là một chữ số từ 1 đến 9 (0 không được tính vì \( aa \) là chữ số có hai chữ số).

Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ mẫu số:
\[
n(n + 1) = 22a
\]

Bây giờ, ta cần thử các giá trị của \( a \) từ 1 đến 9 và tìm \( n \) sao cho \( n(n + 1) = 22a \) là một phương trình đúng và \( n \) cũng là một số tự nhiên. Ta sẽ thử từng giá trị của \( a \):

1. Với \( a = 1 \):
\[
n(n + 1) = 22 \\
n^2 + n - 22 = 0 \\
\text{D = } 1 + 88 = 89 \quad (D \text{ không phải là hoàn hảo})
\]

2. Với \( a = 2 \):
\[
n(n + 1) = 44 \\
n^2 + n - 44 = 0 \\
\text{D = } 1 + 176 = 177 \quad (D \text{ không phải là hoàn hảo})
\]

3. Với \( a = 3 \):
\[
n(n + 1) = 66 \\
n^2 + n - 66 = 0 \\
\text{D = } 1 + 264 = 265 \quad (D \text{ không phải là hoàn hảo})
\]

4. Với \( a = 4 \):
\[
n(n + 1) = 88 \\
n^2 + n - 88 = 0 \\
\text{D = } 1 + 352 = 353 \quad (D \text{ không phải là hoàn hảo})
\]

5. Với \( a = 5 \):
\[
n(n + 1) = 110 \\
n^2 + n - 110 = 0 \\
\text{D = } 1 + 440 = 441 \quad (D = 21^2 \text{ là hoàn hảo}) \\
n = \frac{-1 \pm 21}{2} \quad n = 10 \quad (\text{do } n \text{ phải là tự nhiên})
\]

6. Với \( a = 6 \):
\[
n(n + 1) = 132 \\
n^2 + n - 132 = 0 \\
\text{D = } 1 + 528 = 529 \quad (D = 23^2 \text{ là hoàn hảo}) \\
n = \frac{-1 \pm 23}{2} \quad n = 11 \quad (\text{do } n \text{ phải là tự nhiên})
\]

7. Với \( a = 7 \):
\[
n(n + 1) = 154 \\
n^2 + n - 154 = 0 \\
\text{D = } 1 + 616 = 617 \quad (D \text{ không phải là hoàn hảo})
\]

8. Với \( a = 8 \):
\[
n(n + 1) = 176 \\
n^2 + n - 176 = 0 \\
\text{D = } 1 + 704 = 705 \quad (D \text{ không phải là hoàn hảo})
\]

9. Với \( a = 9 \):
\[
n(n + 1) = 198 \\
n^2 + n - 198 = 0 \\
\text{D = } 1 + 792 = 793 \quad (D \text{ không phải là hoàn hảo})
\]

Từ việc kiểm tra từng trường hợp với \( a \), ta thấy chỉ có hai trường hợp thỏa mãn:

1. \( a = 5 \), \( n = 10 \)
2. \( a = 6 \), \( n = 11 \)

Vậy có hai cặp \( (n, a) \):
1. \( (10, 5) \)
2. \( (11, 6) \)

Kết quả cuối cùng sẽ là hai bộ số cần tìm:
\( n = 10, a = 5 \) hoặc \( n = 11, a = 6 \).