Bài 19: CMR b)$x^{2}$ + $26y^{2}$ `-10xy+14x-76y+59>0` với mọi x,y

Để chứng minh bất phương trình \(x^{2} + 26y^{2} - 10xy + 14x - 76y + 59 > 0\) với mọi \(x, y\), chúng ta sẽ sử dụng định lý cạnh bậc hai và phân tích phương trình này.

Đầu tiên, chúng ta xem xét đa thức \(P(x, y) = x^{2} + 26y^{2} - 10xy + 14x - 76y + 59\). Để phân tích, chúng ta xếp lại theo dạng bậc hai của \(x\) (hoặc \(y\)).

1. Tính nghiệm của phương trình: Để xác định rằng phương trình này không có nghiệm nào (không có điểm nào mà \(P(x, y) = 0\)), chúng ta có thể xem nó như một phương trình bậc hai theo biến \(x\). Cụ thể, ta có:

\(P(x, y) = (1)x^2 + (-10y + 14)x + (26y^2 - 76y + 59)\).

Trong đó, tham số \(a = 1\), \(b = -10y + 14\), và \(c = 26y^2 - 76y + 59\).

2. Tính Δ (định thức của phương trình bậc hai): Để phương trình này luôn có giá trị dương, cần đảm bảo rằng định thức \(Δ\) phải nhỏ hơn 0:

\[
Δ = b^2 - 4ac = (-10y + 14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (26y^2 - 76y + 59).
\]

Ta sẽ thay thế các giá trị và tìm điều kiện:

\[
Δ = (100y^2 - 280y + 196) - 4(26y^2 - 76y + 59)
\]

Tính \(4(26y^2 - 76y + 59)\):

\[
= 104y^2 - 304y + 236
\]

Rồi thay vào:

\[
Δ = 100y^2 - 280y + 196 - (104y^2 - 304y + 236) = 100y^2 - 104y^2 + 24y - 40
\]

Vậy ta có:

\[
Δ = -4y^2 + 24y - 40.
\]

3. Giải bất phương trình Δ < 0: Chúng ta muốn căn bậc hai này âm, tức là:

\[
-4y^2 + 24y - 40 < 0.
\]

Chia cả phương trình cho -4 (lưu ý đổi chiều dấu):

\[
y^2 - 6y + 10 > 0.
\]

Tính delta của phương trình bậc hai này:

\[
Δ = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4 < 0.
\]

Điều này có nghĩa rằng phương trình \(y^2 - 6y + 10\) không có nghiệm và luôn dương.

4. Kết luận: Từ đó, ta có thể kết luận rằng \(Δ < 0\) với mọi giá trị của \(y\), và điều này cho thấy rằng bất phương trình ban đầu \(P(x, y) > 0\) với mọi \(x, y\).

Vì vậy, ta có:

\[
x^{2} + 26y^{2} - 10xy + 14x - 76y + 59 > 0 \quad \forall x, y.
\]