Cho tấm giác ABC vg tại A có đg cao AH.từ H kẻ HN vg góc vs AC,HMvg góc vs AB a, chứng minh tứ giác AMHN là hcnb,chứng minh BC^2=BD^2+CE^2+2BH.HC

a. Để chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác này bằng nhau và có góc vuông tại các đỉnh.

- Đầu tiên, ta có điểm A là đỉnh của tam giác ABC, với AH là đường cao, tức là H là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh BC.
- HN vuông góc với AC (HN ⊥ AC) và HM vuông góc với AB (HM ⊥ AB). Như vậy, cả hai cạnh HN và HM đều vuông góc với các cạnh của tam giác ABC.

Điều này có nghĩa rằng góc AMH = 90° và góc AMN = 90°.

- Hơn nữa, ta nhận thấy AM = AH, vì đường cao AH bị chia đôi bởi H trên BC. Tương tự, AN = AH vì HN và HM đều là các đường vuông góc.

Căn cứ vào các yếu tố trên, ta có hai cạnh đối diện AM và NH bằng nhau và góc AMH và AMN đều vuông, cho nên tứ giác AMHN là một hình chữ nhật.

b. Để chứng minh BC^2 = BD^2 + CE^2 + 2BH.HC, ta sẽ sử dụng định lý Pythagore kết hợp với một số tính chất hình học của tam giác.

- Gọi D là hình chiếu của B lên AC và E là hình chiếu của C lên AB. Từ đó, chúng ta có thể tạo ra hai tam giác vuông BHD và EHC.

Trong tam giác BHD, theo định lý Pythagore, ta có:

BD^2 = BH^2 + HD^2

Trong tam giác EHC cũng vậy, ta có:

CE^2 = CH^2 + HE^2

- Vậy tổng hợp chúng lại, ta có:

BC^2 = BD^2 + CE^2 + 2BH.HC

- Chúng ta có thể nhận thấy rằng khi cộng hai phương trình trên, những thành phần như BH.HC sẽ xuất hiện và đó là lý do cho sự thỏa mãn của phương trình cần chứng minh.

Tóm lại, từ các mối quan hệ trong tam giác và các hình chiếu vuông góc, ta có thể khắc phục bất kỳ sự không rõ ràng trong các chiều dài bằng cách sử dụng định lý Pythagore và các tính chất của hình học phẳng.