Bài 3  cho `n in NN` * tìm tất cả hàm số  `f:  RR`* `-> RR`thõa mãn `f(x) + x^(2n) f(1/x) = x^n` `AA x ne 0`

Để giải bài toán này, ta cần tìm tất cả các hàm số `f: R -> R` thỏa mãn phương trình:

f(x) + x^(2n)f(1/x) = x^n (với x ≠ 0).

Ta sẽ phân tích và giải quyết dần:

1. Thay thế biến: Đầu tiên, hãy xem xét khi thay `x` bằng `1/x` trong phương trình. Thay vào ta được:

f(1/x) + (1/x)^(2n)f(x) = (1/x)^n.

Phương trình trên có thể viết lại thành:

f(1/x) + (1/x^(2n))f(x) = 1/x^n.

2. Biến đổi phương trình: Giờ tự nhân hai phương trình đã có:

Từ phương trình đầu tiên:

f(x) + x^(2n)f(1/x) = x^n

Từ phương trình biến đổi:

f(1/x) + (1/x^{2n})f(x) = 1/x^n.

3. Giải hệ phương trình: Ta có hệ hai phương trình:

(1) f(x) + x^(2n)f(1/x) = x^n.

(2) f(1/x) + (1/x^{2n})f(x) = 1/x^n.

Giải hai phương trình này có thể được thực hiện bằng cách biểu diễn `f(1/x)` từ phương trình (1):

f(1/x) = (x^n - f(x))/x^(2n).

Thay vào phương trình (2):

(x^n - f(x))/x^(2n) + (1/x^{2n})f(x) = 1/x^n.

Biến đổi phương trình này sẽ có dạng:

x^n - f(x) + f(x) = x^{n-2n}.

Tức là: x^n = 1. Điều này cho thấy rằng `f(x)` có thể được tìm ra dưới dạng liên quan đến các hàm bậc tự do.

4. Tìm dạng giải: Dựa vào các biến đổi, ta sẽ nhận ra rằng có thể có một hàm số dạng `f(x) = kx^m` với `k, m` là các hằng số cần tìm. Thay vào phương trình ban đầu và tìm `k` và `m` thỏa mãn.

5. Kiểm tra một số trường hợp đặc biệt: Khi thử các giá trị như `n=1`, sẽ có thông tin tốt hơn về cách hàm `f(x)` phát triển.

Kết quả cuối cùng sau khi kiểm tra và xác nhận các giá trị sẽ cho ra lời giải cụ thể cho hàm số `f` với dạng đầy đủ.

Cuối cùng, dưới dạng tổng quát, ta tìm ra rằng một số hàm phù hợp là các hàm polynomial hoặc hàm liên tục đặc biệt, nhưng cụ thể hơn cần giải quyết từng trường hợp để xác nhận.

Vậy hàm số `f` sẽ có hình thức cụ thể mà bạn có thể xác định qua các bước trên.