Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{8}$ - $x^{2}$

Để phân tích đa thức \( x^8 - x^2 \) thành nhân tử, trước tiên ta có thể nhận thấy rằng cả hai hạng tử đều có thể bị chia cho \( x^2 \). Ta lấy \( x^2 \) ra ngoài làm nhân tử chung:

\[
x^8 - x^2 = x^2(x^6 - 1)
\]

Tiếp theo, chúng ta cần phân tích tiếp \( x^6 - 1 \). Đây là một dạng của hiệu hai bình phương, có thể viết lại dưới dạng:

\[
x^6 - 1 = (x^3)^2 - 1^2 = (x^3 - 1)(x^3 + 1)
\]

Bây giờ, ta tiếp tục phân tích các yếu tố này. Cả \( x^3 - 1 \) và \( x^3 + 1 \) đều có thể được phân tích hơn nữa:

1. Phân tích \( x^3 - 1 \):

\( x^3 - 1 \) là hiệu của hai bình phương và có thể phân tích như sau:

\[
x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)
\]

2. Phân tích \( x^3 + 1 \):

\( x^3 + 1 \) là tổng của hai bình phương và cũng có thể phân tích như sau:

\[
x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)
\]

Từ đó, ta có thể viết lại \( x^6 - 1 \) dưới dạng:

\[
x^6 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)
\]

Bây giờ, kết hợp tất cả lại, ta sẽ có khai triển hoàn chỉnh của \( x^8 - x^2 \):

\[
x^8 - x^2 = x^2 (x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)
\]

Tóm lại, kết quả cuối cùng của phép phân tích đa thức \( x^8 - x^2 \) thành nhân tử là:

\[
x^8 - x^2 = x^2 (x - 1)(x + 1)(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)
\]