Tìm các giá trị nguyên x,y thỏa mãn 3(x-2023)²+y²=16

Để giải phương trình 3(x-2023)² + y² = 16, trước tiên chúng ta phân tích cấu trúc của phương trình này.

1. Bắt đầu từ phương trình:
3(x-2023)² + y² = 16

2. Chia cả hai vế cho 16 để đơn giản hóa phương trình hơn:
(x - 2023)² / (16/3) + y² / 16 = 1

3. Nhận thấy rằng phương trình trên có dạng của một ellip, với trục ngang là (16/3) và trục dọc là 16. Tuy nhiên, chúng ta đang tìm giá trị nguyên cho x và y.

4. Từ phương trình gốc, để có một giá trị nguyên cho y², (x - 2023)² phải là một số không âm và thoả mãn điều kiện 3(x - 2023)² ≤ 16. Điều này dẫn đến:
(x - 2023)² ≤ 16/3

5. Giải bất phương trình trên:
- Lấy căn bậc hai để tìm giá trị:
- √(16/3) ≈ 2.31

6. Điều này có nghĩa là:
-2.31 ≤ (x - 2023) ≤ 2.31
Từ đó ta có thể rút ra giá trị của x:
2023 - 2.31 ≤ x ≤ 2023 + 2.31
≈ 2020 ≤ x ≤ 2025

7. Giá trị nguyên của x có thể là 2020, 2021, 2022, 2023, 2024 và 2025.

8. Bây giờ chúng ta sẽ xem xét từng giá trị của x để tìm các giá trị tương ứng của y:

- Nếu x = 2020:
3(2020 - 2023)² + y² = 16
3(3)² + y² = 16
27 + y² = 16 → y² = -11 (không có nghiệm)

- Nếu x = 2021:
3(2021 - 2023)² + y² = 16
3(2)² + y² = 16
12 + y² = 16 → y² = 4 → y = ±2 (có nghiệm)

- Nếu x = 2022:
3(2022 - 2023)² + y² = 16
3(1)² + y² = 16
3 + y² = 16 → y² = 13 (không có nghiệm nguyên)

- Nếu x = 2023:
3(2023 - 2023)² + y² = 16
0 + y² = 16 → y² = 16 → y = ±4 (có nghiệm)

- Nếu x = 2024:
3(2024 - 2023)² + y² = 16
3(1)² + y² = 16
3 + y² = 16 → y² = 13 (không có nghiệm nguyên)

- Nếu x = 2025:
3(2025 - 2023)² + y² = 16
3(2)² + y² = 16
12 + y² = 16 → y² = 4 → y = ±2 (có nghiệm)

9. Tập hợp các giá trị nguyên x, y tìm được:
- (2021, 2)
- (2021, -2)
- (2023, 4)
- (2023, -4)
- (2025, 2)
- (2025, -2)

Kết luận, các giá trị nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình là:
(2021, 2), (2021, -2), (2023, 4), (2023, -4), (2025, 2), (2025, -2).