Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a, các đường cao là BM và CN. Gọi O là trung điểm cạnh BC. a, Chứng minh B, C, M, N cùng thuộc đường tròn tâm O b, Gọi G là giao điểm của BM và CN. Chứng minh điểm G nằm trong, điểm A nằm ngoài đối với đường tròn đường

a. Để chứng minh B, C, M, N cùng thuộc đường tròn tâm O, chúng ta cần chứng minh rằng, với điểm O là trung điểm của đoạn thẳng BC, các điểm B, C, M, N đều cách đều điểm O.

Chúng ta bắt đầu bằng việc xác định tọa độ các điểm của tam giác đều ABC. Giả sử tam giác ABC có A(0, a√3/2), B(-a/2, 0), C(a/2, 0). Tọa độ của O, là trung điểm của BC, sẽ là O(0, 0).

Tiếp theo, ta tính độ dài từ O đến các điểm B, C, M và N.

- Độ dài OB:
OB = sqrt[(-a/2 - 0)² + (0 - 0)²] = a/2

- Độ dài OC:
OC = sqrt[(a/2 - 0)² + (0 - 0)²] = a/2

- Tính độ dài OM, với M là chân đường cao từ A xuống BC:
M là chân đường cao, nên tọa độ của M là M(0, 0). Do đó, OM = 0, khiến M nằm trùng với O.

- Độ dài ON, với N là chân đường cao từ B xuống AC:
N cũng nằm trên trục y và trực giao với AC, do đó, tọa độ của N là N(a/4, a√3/4). Chiều dài ON:
ON = sqrt[(a/4 - 0)² + (a√3/4 - 0)²] = sqrt[(a/4)² + (a√3/4)²] = sqrt[(a²/16 + 3a²/16)] = sqrt[(4a²/16)] = a/2.

Bây giờ, ta thấy rằng độ dài OB = OC = ON = a/2. Tất cả các điểm B, C, N đều ở khoảng cách a/2 từ O. M nằm tại O và cũng có khoảng cách bằng 0 từ O. Do vậy, B, C, M, N đều cách đều điểm O và do đó B, C, M, N cùng thuộc đường tròn tâm O có bán kính bằng a/2.

b. Ta sẽ chứng minh điểm G (giao điểm của BM và CN) nằm trong, còn điểm A nằm ngoài đường tròn có đường kính BC.

Đường kính BC có độ dài bằng a. Bán kính của đường tròn này sẽ là a/2. Chúng ta cần kiểm tra khoảng cách từ điểm G đến O (điểm chính giữa của BC) và so sánh với bán kính.

Điểm G là giao điểm của hai đường cao BM và CN. Theo tính chất của tam giác đều, giao điểm của các đường cao là trọng tâm G và trong tam giác đều nó cũng là một điểm nội tiếp. Vì đường cao BM và CN đều đi từ các đỉnh tới cạnh đối diện, G nằm trong tam giác ABC.

Từ trọng tâm G tới điểm O, ta có khoảng cách OG nhỏ hơn a/2 (bán kính đường tròn). Do đó, G nằm trong đường tròn đó.

Còn với điểm A, ta tính khoảng cách OA:
OA = sqrt[(0-0)² + (a√3/2 - 0)²] = a√3/2.

Rõ ràng, a√3/2 > a/2, nên điểm A nằm ngoài đường tròn có đường kính BC.

Tóm lại, G nằm trong đường tròn đường kính BC còn A nằm ngoài đường tròn đó.