Tìm nghiệm nguyên của phương trình :$y^{2}$-1=$x^{}$(1+$x^{}$)(1+$x^{2}$)

Để giải phương trình \( y^2 - 1 = x(1 + x)(1 + x^2) \), chúng ta bắt đầu bằng cách sắp xếp lại phương trình. Phương trình có thể viết lại như sau:

\[
y^2 = x(1 + x)(1 + x^2) + 1
\]

Ta cần tính toán giá trị của biểu thức bên phải đối với các giá trị nguyên của \( x \). Biểu thức bên phải là \( x(1 + x)(1 + x^2) + 1 \).

1. Tính biểu thức cho các giá trị nguyên của x:
- Khi \( x = 0 \):
\[
y^2 = 0(1 + 0)(1 + 0) + 1 = 1 \implies y = \pm 1
\]
- Khi \( x = 1 \):
\[
y^2 = 1(1 + 1)(1 + 1) + 1 = 1 \cdot 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5 \implies y = \pm \sqrt{5} \text{ (không phải số nguyên)}
\]
- Khi \( x = -1 \):
\[
y^2 = -1(1 - 1)(1 + 1) + 1 = -1 \cdot 0 \cdot 2 + 1 = 0 + 1 = 1 \implies y = \pm 1
\]
- Khi \( x = 2 \):
\[
y^2 = 2(1 + 2)(1 + 4) + 1 = 2 \cdot 3 \cdot 5 + 1 = 30 + 1 = 31 \implies y = \pm \sqrt{31} \text{ (không phải số nguyên)}
\]
- Khi \( x = -2 \):
\[
y^2 = -2(1 - 2)(1 + 4) + 1 = -2 \cdot (-1) \cdot 5 + 1 = 10 + 1 = 11 \implies y = \pm \sqrt{11} \text{ (không phải số nguyên)}
\]

Tiếp tục kiểm tra các giá trị \( x \) lớn hơn \( 2 \) và nhỏ hơn \( -2 \):

2. Nhận xét:
- Khi \( x \) là dương mà lớn hơn 1 (chẳng hạn \( x = 3 \) hoặc lớn hơn), kết quả \( y^2 \) sẽ là số lớn hơn 5, cho thấy rằng \( y \) không thể là số nguyên.
- Khi \( x \) là âm và có giá trị tuyệt đối lớn hơn 1 (như \( x = -3 \)), ta cũng thấy rằng \( y^2 \) không cho kết quả là số hoàn thiện (không phải là bình phương của một số nguyên).

Kết quả trình bày của các giá trị \( x \) cho thấy rằng chỉ có 2 tình huống mà \( y \) là số nguyên:

- Khi \( x = 0 \): \( y = 1 \) hoặc \( y = -1 \)
- Khi \( x = -1 \): \( y = 1 \) hoặc \( y = -1 \)

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:

\[
(x, y) = (0, 1), (0, -1), (-1, 1), (-1, -1)
\]