Tìm số tự nhiên n có ba chứ số sao cho n+6 chia hết cho  7 ,n+7 chia hết cho 8,n+8 chia hết cho 9

Để giải bài toán, ta cần tìm số tự nhiên n có ba chữ số thỏa mãn những điều kiện sau:

1. n + 6 chia hết cho 7.
2. n + 7 chia hết cho 8.
3. n + 8 chia hết cho 9.

Từ các điều kiện này, ta có thể viết lại:

1. n + 6 ≡ 0 (mod 7) => n ≡ -6 (mod 7) => n ≡ 1 (mod 7) (vì -6 + 7 = 1)
2. n + 7 ≡ 0 (mod 8) => n ≡ -7 (mod 8) => n ≡ 1 (mod 8) (vì -7 + 8 = 1)
3. n + 8 ≡ 0 (mod 9) => n ≡ -8 (mod 9) => n ≡ 1 (mod 9) (vì -8 + 9 = 1)

Đến đây, ta thấy rằng n đều có phép đồng dư cùng quy luật: n ≡ 1 (mod 7), n ≡ 1 (mod 8), và n ≡ 1 (mod 9).

Điều này có nghĩa là n có dạng:

n = 1 + k * LCM(7, 8, 9), với k là số tự nhiên và LCM(7, 8, 9) là bội chung nhỏ nhất của 7, 8, và 9.

Tính LCM:

- 7 là số nguyên tố.
- 8 = 2^3.
- 9 = 3^2.

LCM = 7 8 9 / GCD(7, 8, 9) = 7 8 9 = 504 (vì 7, 8, 9 không có ước chung lớn hơn 1).

Do đó, ta có n = 1 + k * 504.

Tìm k sao cho n có ba chữ số. Số ba chữ số có phạm vi từ 100 đến 999.

1. Khi k = 0, n = 1. (không thỏa mãn vì không có ba chữ số)
2. Khi k = 1, n = 1 + 504 = 505. (thỏa mãn)
3. Khi k = 2, n = 1 + 2 * 504 = 1009. (không thỏa mãn vì vượt quá ba chữ số)

Vậy n có ba chữ số duy nhất là n = 505.

Cuối cùng, kiểm tra lại các điều kiện:

- 505 + 6 = 511 chia hết cho 7. (511 mod 7 = 0)
- 505 + 7 = 512 chia hết cho 8. (512 mod 8 = 0)
- 505 + 8 = 513 chia hết cho 9. (513 mod 9 = 0)

Tất cả các điều kiện đều thỏa mãn.

Vậy số tự nhiên n có ba chữ số mà bài toán yêu cầu là 505.