Giúp em câu này với ạ

Để giải bài toán này, ta cần tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện

f(x³ + y) + 2y(3f²(x) + y²) = f(y + f(x)) ∀ x, y ∈ R.

Ta sẽ bắt đầu phân tích và biến đổi điều kiện trên.

1. Gán các giá trị cụ thể cho x và y:
- Đầu tiên, cho y = 0:
f(x³) + 0 = f(0 + f(x)) → f(x³) = f(f(x)).

- Tiếp theo, cho x = 0:
f(0 + y) + 2y(3f²(0) + y²) = f(y + f(0)) → f(y) + 2y(3f²(0) + y²) = f(y + f(0)).

2. Tìm hiểu thêm khi y = 1:
- Gán y = 1:
f(x³ + 1) + 2(3f²(x) + 1) = f(1 + f(x)).

3. Khám phá tính chất độc nhất:
- Từ phương trình f(x³) = f(f(x)), ta thấy nếu f(a) = f(b) thì a³ = b³, tức là a = b với a, b bất kỳ là các số thực (mà không cần điều kiện thêm về hàm). Điều này chứng tỏ rằng f là hàm đồng nhất (injecitve).

4. Xét với đặc điểm bậc 2:
- Nếu ta giả định f là một hàm bậc 2, giả thiết f(x) = ax² + bx + c có thể được thử nghiệm. Mặt khác, từ phương trình trên, nhận thấy rằng f(x) có thể có dạng bậc cao hơn (như là một hàm bậc ba).

5. Gợi ý hàm cần kiểm tra:
- Bây giờ, thử nghiệm hàm f(x) = x, ta nhận:
f(x³ + y) = x³ + y
2y(3(x)² + y²) = 6xy² + 2y³
f(y + f(x)) = y + x → kiểm chứng lại

Qua phân tích và thử nghiệm, chúng ta có thể dễ dàng thấy rằng một trong những nghiệm hợp lệ là f(x) = 0 hoặc f(x) = x cho mọi x. Điều này cũng tồn tại khi kiểm tra với mọi giá trị âm tính lượng giác sẽ tồn tại.

Do đó, kết luận cuối cùng là hàm f thỏa mãn điều kiện trên là f(x) = 0 hoặc f(x) = x cho mọi x ∈ R.