Trong các dãy số (Un) cho bởi số hạng tổng quát

Để xác định xem dãy số (Un) nào là cấp số cộng, ta cần xét điều kiện của từng dãy số. Một dãy số là cấp số cộng nếu hiệu giữa các số hạng kề nhau là một hằng số. Cụ thể, với dãy số Un là cấp số cộng, thì có:

Un+1 - Un = hằng số.

Chúng ta sẽ kiểm tra từng dãy số theo thứ tự:

a) Un = 2n + 3

Tính Un+1:
Un+1 = 2(n + 1) + 3 = 2n + 2 + 3 = 2n + 5.

Tính hiệu:
Un+1 - Un = (2n + 5) - (2n + 3) = 2.

Hệ số khác 0 nên dãy số này là cấp số cộng với công sai k = 2. Số hạng đầu u1 = 2*1 + 3 = 5.

b) Un = -3n + 1

Tính Un+1:
Un+1 = -3(n + 1) + 1 = -3n - 3 + 1 = -3n - 2.

Tính hiệu:
Un+1 - Un = (-3n - 2) - (-3n + 1) = -2 - 1 = -3.

Hệ số khác 0 nên dãy số này là cấp số cộng với công sai k = -3. Số hạng đầu u1 = -3*1 + 1 = -2.

c) Un = n^2 + 1

Tính Un+1:
Un+1 = (n + 1)^2 + 1 = n^2 + 2n + 1 + 1 = n^2 + 2n + 2.

Tính hiệu:
Un+1 - Un = (n^2 + 2n + 2) - (n^2 + 1) = 2n + 1.

Hệ số không phải là hằng số mà phụ thuộc vào n, nên dãy này không phải là cấp số cộng.

d) Un = 2/n

Tính Un+1:
Un+1 = 2/(n + 1).

Tính hiệu:
Un+1 - Un = (2/(n + 1)) - (2/n). Để tính hiệu này, ta cần quy đồng:
= [(2n - 2(n + 1)) / (n(n + 1))] = [-2] / (n(n + 1)).

Hệ số này cũng không hằng số, phụ thuộc vào n, nên dãy này không phải là cấp số cộng.

Tóm lại, dãy số (Un) là cấp số cộng chỉ có ở:

a) với công sai k = 2 và số hạng đầu u1 = 5.
b) với công sai k = -3 và số hạng đầu u1 = -2.

Vì vậy, các dãy số Un có dạng cấp số cộng là a) và b).