Xét mệnh đề đúng sai (cấp số cộng)

a) Công thức cho số hạng tổng quát của cấp số cộng có dạng \( u_n = u_1 + (n-1)d \). Với \( u_1 = \frac{3}{2} \) và \( d = \frac{1}{2} \), ta có:

\[
u_n = \frac{3}{2} + (n-1) \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{n-1}{2} = \frac{3 + n - 1}{2} = \frac{n + 2}{2}
\]

Vậy công thức cho số hạng tổng quát \( u_n = \frac{n + 2}{2} \) là đúng.

b) Để tìm số hạng thứ 8 của cấp số cộng, ta thay \( n = 8 \) vào công thức đã tìm được:

\[
u_8 = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5
\]

Vậy, 5 là số hạng thứ 8 của cấp số cộng. Mệnh đề này đúng.

c) Để tính một số hạng của cấp số cộng, ta cần xác định số hạng nào. Giả sử chúng ta xét số hạng có chỉ số \( n \). Để có kết quả này, ta tìm \( n \) sao cho:

\[
u_n = \frac{15}{4}
\]

Dùng công thức số hạng tổng quát:

\[
\frac{n + 2}{2} = \frac{15}{4}
\]

Giải phương trình:

\[
n + 2 = \frac{15}{2}
\]
\[
n = \frac{15}{2} - 2 = \frac{15}{2} - \frac{4}{2} = \frac{11}{2}
\]

Điều này dẫn đến chỉ số \( n \) không phải là số nguyên. Do đó, không có một số hạng nào có giá trị bằng \( \frac{15}{4} \) trong cấp số cộng này. Mệnh đề này sai.

d) Để tính tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng, ta sử dụng công thức:

\[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (u_1 + u_n)
\]

Với \( n = 100 \), \( u_1 = \frac{3}{2} \) và

\[
u_{100} = \frac{100 + 2}{2} = \frac{102}{2} = 51
\]

Thay vào công thức:

\[
S_{100} = \frac{100}{2} \cdot \left( \frac{3}{2} + 51 \right) = 50 \cdot \left( \frac{3}{2} + \frac{102}{2} \right) = 50 \cdot \frac{105}{2} = 50 \cdot 52.5 = 2625
\]

Vậy tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng \( u_n \) bằng 2625, không phải 2620. Mệnh đề này sai.