Tính nguyên hàm giúp e với ạ

19. Tính nguyên hàm ∫tan x dx:

Nguyên hàm của tan x có thể được tìm bằng cách viết lại tan x dưới dạng sin x/cos x. Ta có:

∫tan x dx = ∫(sin x/cos x) dx.

Áp dụng phép đổi biến, đặt u = cos x, thì du = -sin x dx, dẫn đến:

∫(sin x/cos x) dx = -∫(1/u) du = -ln |u| + C = -ln |cos x| + C.

Vậy, ∫tan x dx = -ln |cos x| + C.

20. Tính nguyên hàm ∫(ln²x + ln x²)/(2x) dx:

Có thể viết lại ln x² = 2ln x, do đó:

∫(ln²x + 2ln x)/(2x) dx = 1/2 ∫(ln²x/x + ln x/x) dx.

Áp dụng công thức tích phân từng phần:

Gọi u = ln x, dv = (1/x)dx. Ta có du = (1/x)dx, v = ln x.

Áp dụng tích phân từng phần sẽ cho ra kết quả, và cuối cùng ta tìm được:

∫(ln²x + ln x²)/(2x) dx = (ln²x)/4 + (ln x)/2 + C.

21. Tính nguyên hàm ∫(tan³x + 3tan x + 1)/cos²x dx:

Đặt u = tan x, thì du = (1/cos²x)dx, vì vậy ta chuyển đổi:

∫(tan³x + 3tan x + 1) dx = ∫(u³ + 3u + 1) du.

Nguyên hàm của u³ là (u⁴)/4, nguyên hàm của 3u là (3u²)/2 và nguyên hàm của 1 là u. Thế vào ta có:

∫(tan³x + 3tan x + 1)/cos²x dx = (1/4)tan⁴x + (3/2)tan²x + tan x + C.

22. Tính nguyên hàm ∫tan(cos x)sin x dx:

Áp dụng phương pháp đổi biến. Đặt u = cos x, thì du = -sin x dx. Khi đó:

∫tan(cos x)sin x dx = -∫tan(u) du.

Nguyên hàm của tan u là -ln|cos u|, thế vào ta có:

∫tan(cos x)sin x dx = -ln|cos(cos x)| + C.

23. Tính nguyên hàm ∫sin x.cos x dx:

Ta có thể viết lại sin x.cos x = (1/2)sin(2x) bởi công thức nhân đôi. Do đó:

∫sin x.cos x dx = (1/2)∫sin(2x) dx.

Nguyên hàm của sin(2x) là -(1/2)cos(2x), thế là:

∫sin x.cos x dx = -(1/4)cos(2x) + C.

24. Tính nguyên hàm ∫(sin 2x - 1)³ cos 2x dx:

Sử dụng phương pháp đổi biến. Đặt u = sin 2x, thì du = 2cos 2x dx, nghĩa là dx = du/(2cos 2x):

Khi đó, ∫(u - 1)³ (1/2) du = (1/2)(1/4)(u - 1)⁴ + C = (1/8)(sin 2x - 1)⁴ + C.