Giúp tui nguyên hàm với mn ơi helppppp

13. Để giải nguyên hàm của biểu thức ∫ x(x+1)¹⁰ dx:

Chúng ta sử dụng phép biến đổi thành dạng đơn giản hơn:

x(x+1)¹⁰ = (x² + x)¹⁰.

Thay đổi biến số có thể giúp ích. Đặt u = x(x + 1), thì du/dx = (2x + 1) và dx = du/(2x + 1).

Biểu thức trở nên phức tạp hơn, vì vậy ta nên tách để dùng quy tắc tích:

∫ x(x + 1)¹⁰ dx = ∫ (x + (x + 1) - 1)(x + 1)¹⁰ dx.

Sau khi tính toán, ta sẽ nhận được một nguyên hàm phức tạp và cần xử lý.

Kết quả sẽ cho một biểu thức tùy ý cộng với hằng số C.

14. Đối với ∫ x³/(x² + 1) dx:

Ta có thể thực hiện phép chia đa thức. Chia x³ cho x² + 1 sẽ cho ra x, và phần dư sẽ là x. Vậy:

∫ [x + (x/(x² + 1))] dx = ∫ x dx + ∫ (x/(x² + 1)) dx.

Nguyên hàm của x là x²/2.

Nguyên hàm của x/(x² + 1) sử dụng phương pháp thay thế:

Đặt u = x² + 1, du = 2x dx, hoặc dx = du/(2x).

Hai phần sẽ cho chúng ta thành công dụng:

x²/2 + (1/2) ln(x² + 1) + C.

15. Đối với ∫ (x⁴/(1 + x¹⁰ - 2x⁵)) dx:

Ta có thể biến đổi mẫu số thành dạng khác.

Mẫu số có thể được nhân hóa để đơn giản hóa. Ta nhận thấy rằng 1 + x¹⁰ - 2x⁵ = (x⁵ - 1)². Sau đó, biểu thức trở thành:

∫ (x⁴/((x⁵ - 1)²)) dx.

Sử dụng phép biến đổi phù hợp với u = x⁵ - 1, du = 5x⁴ dx dẫn đến:

(1/5) ∫ (1/u²) du = - (1/5u) + C.

Thay lại biến, ta nhận được kết quả cuối cùng.

17. Đối với ∫ x⁷(1 - 2x⁴)⁹ dx:

Sử dụng phương pháp thay thế. Đặt u = 1 - 2x⁴, thì du/dx = -8x³ và dx = -du/(8x³).

Thay đổi sẽ trở thành:

∫ x⁷ u⁹ (-du/(8x³)) = - (1/8) ∫ x⁴ u⁹ du.

Sử dụng thêm thay u cho x⁴ có thể cho kết quả cụ thể hơn.

18. Cuối cùng, với ∫ cos³(x)sin(x)dx:

Ta sử dụng phương pháp thay thế. Đặt u = cos(x), du = -sin(x)dx. Khi đó,

∫ cos³(x)sin(x)dx = - ∫ u³ du = - (1/4)u⁴ + C = - (1/4)cos⁴(x) + C.

Tóm lại, mọi nguyên hàm đều có thể sử dụng các phương pháp khác nhau như chia, thay thế và tính tích phân từng phần để tìm ra kết quả chính xác.