Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC ,CD,  AD . Chứng minh tam giác AMP = tam giác BMN , chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi ( Vẽ hình nữa nha )

Để chứng minh tam giác AMP = tam giác BMN, ta sẽ sử dụng các phương pháp như định nghĩa tam giác đồng dạng và các tính chất của hình chữ nhật.

1. Chứng minh tam giác AMP = tam giác BMN:

- Gọi A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), D(x4, y4) là các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
- M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, AD. Do đó, tọa độ của chúng sẽ là:
- M = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)
- N = ((x2+x3)/2, (y2+y3)/2)
- P = ((x3+x4)/2, (y3+y4)/2)
- Q = ((x4+x1)/2, (y4+y1)/2)

- Ta sẽ kiểm tra hai tam giác AMP và BMN có các cạnh tương ứng tỉ lệ và góc tương ứng bằng nhau hay không.
- Đoạn AM và BM có độ dài bằng nhau vì cả hai đều là nửa chiều dài cạnh AB.
- Đoạn MP và MN cũng bằng nhau vì MP = nửa chiều dài cạnh BC và MN cũng nửa chiều dài BC.
- Cuối cùng, góc AMP và góc BMN tương ứng với góc mỗi tam giác tại M và B sẽ bằng nhau do hình chữ nhật có các góc vuông.

Từ đó, ta có thể kết luận rằng tam giác AMP giống hệt tam giác BMN (theo tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh).

2. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi:

Để chứng minh MNPQ là hình thoi, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện của nó đều bằng nhau hoặc chứng minh rằng các đường chéo của nó cắt nhau tại trung điểm.

- Các cặp cạnh MNPQ:
- Đoạn MN = đoạn PQ (vì cả hai đều nằm song song với chiều dài của hình chữ nhật là BC).
- Đoạn NP = đoạn MQ (vì cả hai đều nằm song song với chiều rộng của hình chữ nhật là AD).

- Bằng cách tính toán độ dài của các đoạn này, ta có thể thấy rằng chiều dài của các đoạn đều bằng nhau với các công thức tọa độ (x2 - x1)^{2} + (y2 - y1)^{2} cho mỗi đoạn. Vì vậy, ta có:
- MN = PQ
- NP = MQ

Kết hợp lại, MNPQ có đặc điểm là cặp cạnh đối diện bằng nhau, do đó nó là hình thoi.

Hình vẽ không được cung cấp ở đây, nhưng bạn có thể hình dung hoặc vẽ một hình chữ nhật, đánh dấu các trung điểm M, N, P, Q, và kiểm tra sự bằng nhau của các đoạn mà chúng tôi đã nêu trên.