cho tam giác ABC  vuông tại Acó đường cao AH (H thuộc BC).lấy điểm M đối xứng với điểm A qua H .trên đoạn thẳng BC lấy điểm N sao cho BH=HN. chứng minh tứ giác ABMN là hình thoi

Để chứng minh tứ giác ABMN là hình thoi, ta cần chỉ ra rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác này bằng nhau và các góc đối diện cũng bằng nhau.

1. Thông tin đã cho: Tam giác ABC vuông tại A, với H là chân đường cao từ A xuống cạnh BC. Đặt:
- AH ⎢ BC
- H nằm giữa B và C.

2. Điểm M và điểm N:
- Điểm M là điểm đối xứng của A qua H, nên AM = HM.
- Điểm N được lấy sao cho BH = HN.

3. Tính chất của tứ giác ABMN:
- Đầu tiên, ta có đoạn AH là đường cao từ A, nên H là trung điểm của đoạn BC (do tính chất của tam giác vuông). Vậy, AH vuông góc với BC.
- Khi đó, ta có:
- Bằng cách xem tứ giác ABMN:
- Xét đoạn AB và MN:
- Ta thấy rằng M là đối xứng của A qua H, do vậy AM = HM.
- H lại là trung điểm của BN (vì BH = HN), do đó BH = CN.
- Từ đó, ta có AB = MN.
- Tiếp theo, xét đoạn AM và BN:
- Từ M là đối xứng của A và H là trung điểm nên AM = MH.
- BH = HN (theo giả thiết), nghĩa là BN = AH.

4. Góc:
- Ta có góc AMH = góc BHN = 90 độ (vì AH ⎢ BC, VN cũng vuông góc với BC).
- Sau đó, cấu trúc của tứ giác ABMN cho ta thấy rằng nó có đủ điều kiện để áp dụng định nghĩa hình thoi: hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và các góc đối diện cũng bằng nhau.

5. Kết luận:
- Vì AB = MN và AM = BN, một cách tự nhiên sẽ dẫn đến việc các cạnh đối diện bằng nhau, cùng với các góc vuông, điều này xác định rằng tứ giác ABMN là hình thoi.

Vậy, tứ giác ABMN là hình thoi như xác định trong yêu cầu.